Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng \[\left( d \right):y = 6x + 2023\] và parabol \[\left( P \right):y = {x^2}.\]

a)       Vẽ parabol \[\left( P \right).\]

b)       Chứng minh \[\left( d \right)\] cắt \[\left( P \right)\] tại hai điểm phân biệt.

c)       Gọi \[{x_1}\] và \[{x_2}\] là hoành độ giao điểm của \[\left( d \right)\] và \[\left( P \right).\] Tính \[{x_1} + {x_2}\] và \[{x_1} \cdot {x_2}.\] Từ đó lập phương trình bậc hai ẩn t có hai nghiệm \[{t_1} = {x_1} + 2{x_2}\] và \[{t_2} = {x_2} + 2{x_1}.\]

a) Bảng giá trị

Đồ thị

b) Phương trình hoành độ giao điểm của \[\left( d \right)\] và \[\left( P \right):\]

\[{x^2} = 6x + 2023 \Leftrightarrow {x^2} - 6x - 2023 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\left( * \right)\]

Vì \[\Delta  = {\left( { - 6} \right)^2} - 4 \cdot 1 \cdot \left( { - 2023} \right) = 8128 > 0\] nên phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt.

Vậy \[\left( d \right)\] cắt \[\left( P \right)\] tại hai điểm phân biệt.

Cách 2:

Ta có: \(a.c = 1.( - 2023) =  - 2023 < 0\)

Nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt trái dấu

Vậy \(\left( d \right)\) luôn cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt.

 c) Theo Vi-et ta có \[\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} =  - \frac{{ - 6}}{1} = 6\\{x_1} \cdot {x_2} =  - 2023.\end{array} \right.\]

Suy ra: \[\left\{ \begin{array}{l}{{\rm{t}}_1}{\rm{ + }}{{\rm{t}}_2}{\rm{ =  (}}{x_1}{\rm{ +  2}}{x_2}{\rm{)  +   (}}{x_2}{\rm{ +  2}}{x_1})\\{{\rm{t}}_1}{\rm{.}}{{\rm{t}}_2} = {\rm{(}}{x_1}{\rm{ +  2}}{x_2}{\rm{)}}{\rm{.(}}{x_2}{\rm{ +  2}}{x_1})\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{{\rm{t}}_1}{\rm{ + }}{{\rm{t}}_2}{\rm{ =  }}{x_1}{\rm{ +  2}}{x_2}{\rm{  +   }}{x_2}{\rm{ +  2}}{x_1}\\{{\rm{t}}_1}{\rm{.}}{{\rm{t}}_2} = {x_1}{x_2}{\rm{ +  2}}x_1^2{\rm{ +  2}}x_2^2 + 4{x_1}{x_2}\end{array} \right.\]

     \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{{\rm{t}}_1}{\rm{ + }}{{\rm{t}}_2}{\rm{ = 3}}{x_1}{\rm{ +  3}}{x_2}{\rm{ }}\\{{\rm{t}}_1}{\rm{.}}{{\rm{t}}_2} = 5{x_1}{x_2}{\rm{ +  2}}\left( {x_1^2{\rm{ +  }}x_2^2} \right)\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{{\rm{t}}_1}{\rm{ + }}{{\rm{t}}_2}{\rm{ = 3}}{\rm{.(}}{x_1}{\rm{ +  }}{x_2}{\rm{) }}\\{{\rm{t}}_1}{\rm{.}}{{\rm{t}}_2} = 5{x_1}{x_2}{\rm{ +  2}}\left[ {{{\left( {{x_1}{\rm{ +  }}{x_2}} \right)}^2} - 2{x_1}{x_2}} \right]\end{array} \right.\]

     \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{{\rm{t}}_1}{\rm{ + }}{{\rm{t}}_2}{\rm{ = 3}}{\rm{.6 }}\\{{\rm{t}}_1}{\rm{.}}{{\rm{t}}_2} = 5.( - 2023){\rm{ +  2}}\left[ {{6^2} - 2.( - 2023)} \right]\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{{\rm{t}}_1}{\rm{ + }}{{\rm{t}}_2}{\rm{ = 18 }}\\{{\rm{t}}_1}{\rm{.}}{{\rm{t}}_2} =  - 1951\end{array} \right.\]

Đặt  \[{\rm{S =  }}{{\rm{t}}_1}{\rm{ + }}{{\rm{t}}_2}{\rm{ = 18}}\]  ;  \[{\rm{P =  }}{{\rm{t}}_1}{\rm{.}}{{\rm{t}}_2} =  - 1951\]

Do \[{{\rm{S}}^2} - 4.P = {18^2} - 4.( - 1951) = 8128 > 0\]

nên theo định lí Vi-et đảo ta có \[{{\rm{t}}_1}{\rm{ ; }}{{\rm{t}}_2}\] là hai nghiệm của phương trình bậc hai

\({t^2} - S.t + P = 0\)

\( \Leftrightarrow {t^2} - 18t - 1951 = 0\)

Vậy phương trình bậc hai ẩn t cần tìm là: \({t^2} - 18t - 1951 = 0\)