Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán năm 2023-2024 Khánh Hòa có đáp án

a) Bảng giá trị

Đồ thị

b) Phương trình hoành độ giao điểm của \[\left( d \right)\] và \[\left( P \right):\]

\[{x^2} = 6x + 2023 \Leftrightarrow {x^2} - 6x - 2023 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\left( * \right)\]

Vì \[\Delta  = {\left( { - 6} \right)^2} - 4 \cdot 1 \cdot \left( { - 2023} \right) = 8128 > 0\] nên phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt.

Vậy \[\left( d \right)\] cắt \[\left( P \right)\] tại hai điểm phân biệt.

Cách 2:

Ta có: \(a.c = 1.( - 2023) =  - 2023 < 0\)

Nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt trái dấu

Vậy \(\left( d \right)\) luôn cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt.

 c) Theo Vi-et ta có \[\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} =  - \frac{{ - 6}}{1} = 6\\{x_1} \cdot {x_2} =  - 2023.\end{array} \right.\]

Suy ra: \[\left\{ \begin{array}{l}{{\rm{t}}_1}{\rm{ + }}{{\rm{t}}_2}{\rm{ =  (}}{x_1}{\rm{ +  2}}{x_2}{\rm{)  +   (}}{x_2}{\rm{ +  2}}{x_1})\\{{\rm{t}}_1}{\rm{.}}{{\rm{t}}_2} = {\rm{(}}{x_1}{\rm{ +  2}}{x_2}{\rm{)}}{\rm{.(}}{x_2}{\rm{ +  2}}{x_1})\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{{\rm{t}}_1}{\rm{ + }}{{\rm{t}}_2}{\rm{ =  }}{x_1}{\rm{ +  2}}{x_2}{\rm{  +   }}{x_2}{\rm{ +  2}}{x_1}\\{{\rm{t}}_1}{\rm{.}}{{\rm{t}}_2} = {x_1}{x_2}{\rm{ +  2}}x_1^2{\rm{ +  2}}x_2^2 + 4{x_1}{x_2}\end{array} \right.\]

     \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{{\rm{t}}_1}{\rm{ + }}{{\rm{t}}_2}{\rm{ = 3}}{x_1}{\rm{ +  3}}{x_2}{\rm{ }}\\{{\rm{t}}_1}{\rm{.}}{{\rm{t}}_2} = 5{x_1}{x_2}{\rm{ +  2}}\left( {x_1^2{\rm{ +  }}x_2^2} \right)\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{{\rm{t}}_1}{\rm{ + }}{{\rm{t}}_2}{\rm{ = 3}}{\rm{.(}}{x_1}{\rm{ +  }}{x_2}{\rm{) }}\\{{\rm{t}}_1}{\rm{.}}{{\rm{t}}_2} = 5{x_1}{x_2}{\rm{ +  2}}\left[ {{{\left( {{x_1}{\rm{ +  }}{x_2}} \right)}^2} - 2{x_1}{x_2}} \right]\end{array} \right.\]

     \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{{\rm{t}}_1}{\rm{ + }}{{\rm{t}}_2}{\rm{ = 3}}{\rm{.6 }}\\{{\rm{t}}_1}{\rm{.}}{{\rm{t}}_2} = 5.( - 2023){\rm{ +  2}}\left[ {{6^2} - 2.( - 2023)} \right]\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{{\rm{t}}_1}{\rm{ + }}{{\rm{t}}_2}{\rm{ = 18 }}\\{{\rm{t}}_1}{\rm{.}}{{\rm{t}}_2} =  - 1951\end{array} \right.\]

Đặt  \[{\rm{S =  }}{{\rm{t}}_1}{\rm{ + }}{{\rm{t}}_2}{\rm{ = 18}}\]  ;  \[{\rm{P =  }}{{\rm{t}}_1}{\rm{.}}{{\rm{t}}_2} =  - 1951\]

Do \[{{\rm{S}}^2} - 4.P = {18^2} - 4.( - 1951) = 8128 > 0\]

nên theo định lí Vi-et đảo ta có \[{{\rm{t}}_1}{\rm{ ; }}{{\rm{t}}_2}\] là hai nghiệm của phương trình bậc hai

\({t^2} - S.t + P = 0\)

\( \Leftrightarrow {t^2} - 18t - 1951 = 0\)

Vậy phương trình bậc hai ẩn t cần tìm là: \({t^2} - 18t - 1951 = 0\)

Cách 1: Lập hệ phương trình

Gọi x; y (Học sinh) lần lượt là số học sinh của tổ I và tổ II. (\[x,y \in {N^*}\]và x, y < 15)

Theo đề ta có: \(x + y = 15\)                     (1)

Số cây mỗi học sinh tổ I trồng được là: \(\frac{{30}}{x}\) (cây)

Số cây mỗi học sinh tổ II trồng được là: \(\frac{{36}}{y}\) (cây)

Mỗi học sinh ở tổ I trồng được nhiều hơn mỗi học sinh ở tổ II là 1 cây nên ta có\(\frac{{30}}{x} - \frac{{36}}{y} = 1\) (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 15\\\frac{{30}}{x} - \frac{{36}}{y} = 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 15 - y\\\frac{{30}}{{15 - y}} - \frac{{36}}{y} = 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 15 - y\\\frac{{30y - 36\left( {15 - y} \right)}}{{y\left( {15 - y} \right)}} = \frac{{y\left( {15 - y} \right)}}{{y\left( {15 - y} \right)}}\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 15 - y\\30y - 540 + 36y = 15y - {y^2}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 15 - y\\{y^2} + 51y - 540 = 0\end{array} \right.\)    

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 15 - y\\(y - 9)(y + 60) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 15 - y\\\left[ \begin{array}{l}y = 9(tm)\\y =  - 60(ktm)\end{array} \right.\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 15 - 9 = 6\\y = 9\end{array} \right.\)

Vậy: Số học sinh của tổ I là 6 (Học sinh)

        Số học sinh của tổ II là 9 (Học sinh)

Cách 2: Lập phương trình bậc hai

Gọi số học sinh của Tổ I là \(x\) (học sinh) \(\left( {x \in {N^*};x < 15} \right)\)

Khi đó, số học sinh của Tổ II là \(15 - x\) (học sinh)

Mỗi học sinh tổ I trồng được \[\frac{{30}}{x}\] (cây)

Mỗi học sinh tổ I trồng được \[\frac{{36}}{{15 - x}}\] (cây)

Theo đề bài, ta có phương trình :

\[\frac{{30}}{x} - \frac{{36}}{{15 - x}} = 1\]

\[ \Leftrightarrow 30.(15 - x) - 36x = 1.x.(15 - x)\]

\[ \Leftrightarrow 450 - 30x - 36x = 15x - {x^2}\]

\[ \Leftrightarrow {x^2} - 15x + 450 - 30x - 36x = 0\]

\[ \Leftrightarrow {x^2} - 81x + 450 = 0\]

\(... \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_1} = 75(L) & \\{x_2} = 6 & (t/m)\end{array} \right.\)

Vậy tổ I có 6 học sinh ; tổ II có 9 học sinh.