Cho đường tròn (O) đường kính AB và điểm C thuộc đường tròn sao cho AC < BC (C khác A). Vẽ CH vuông góc với AB (H \[ \in \] AB).

a) Chứng minh \[\Delta ABC\] là tam giác vuông. Tính AC, biết AB = 4cm, AH = 1cm.

b) Trên tia đối của tia CA lấy điểm D sao cho CD = CA. Vẽ DE vuông góc với AB (E\[ \in \]AB). Chứng minh BECD là tứ giác nội tiếp.

c) Gọi I là giao điểm của DE và BC, K là điểm đối xứng của I qua C, tiếp tuyến của (O) tại C cắt KA tại M. Chứng minh KA là tiếp tuyến của (O) và BM đi qua trung điểm của CH.

Cách 1: Lập hệ phương trình

Gọi x; y (Học sinh) lần lượt là số học sinh của tổ I và tổ II. (\[x,y \in {N^*}\]và x, y < 15)

Theo đề ta có: \(x + y = 15\)                     (1)

Số cây mỗi học sinh tổ I trồng được là: \(\frac{{30}}{x}\) (cây)

Số cây mỗi học sinh tổ II trồng được là: \(\frac{{36}}{y}\) (cây)

Mỗi học sinh ở tổ I trồng được nhiều hơn mỗi học sinh ở tổ II là 1 cây nên ta có\(\frac{{30}}{x} - \frac{{36}}{y} = 1\) (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 15\\\frac{{30}}{x} - \frac{{36}}{y} = 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 15 - y\\\frac{{30}}{{15 - y}} - \frac{{36}}{y} = 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 15 - y\\\frac{{30y - 36\left( {15 - y} \right)}}{{y\left( {15 - y} \right)}} = \frac{{y\left( {15 - y} \right)}}{{y\left( {15 - y} \right)}}\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 15 - y\\30y - 540 + 36y = 15y - {y^2}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 15 - y\\{y^2} + 51y - 540 = 0\end{array} \right.\)    

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 15 - y\\(y - 9)(y + 60) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 15 - y\\\left[ \begin{array}{l}y = 9(tm)\\y =  - 60(ktm)\end{array} \right.\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 15 - 9 = 6\\y = 9\end{array} \right.\)

Vậy: Số học sinh của tổ I là 6 (Học sinh)

        Số học sinh của tổ II là 9 (Học sinh)

Cách 2: Lập phương trình bậc hai

Gọi số học sinh của Tổ I là \(x\) (học sinh) \(\left( {x \in {N^*};x < 15} \right)\)

Khi đó, số học sinh của Tổ II là \(15 - x\) (học sinh)

Mỗi học sinh tổ I trồng được \[\frac{{30}}{x}\] (cây)

Mỗi học sinh tổ I trồng được \[\frac{{36}}{{15 - x}}\] (cây)

Theo đề bài, ta có phương trình :

\[\frac{{30}}{x} - \frac{{36}}{{15 - x}} = 1\]

\[ \Leftrightarrow 30.(15 - x) - 36x = 1.x.(15 - x)\]

\[ \Leftrightarrow 450 - 30x - 36x = 15x - {x^2}\]

\[ \Leftrightarrow {x^2} - 15x + 450 - 30x - 36x = 0\]

\[ \Leftrightarrow {x^2} - 81x + 450 = 0\]

\(... \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_1} = 75(L) & \\{x_2} = 6 & (t/m)\end{array} \right.\)

Vậy tổ I có 6 học sinh ; tổ II có 9 học sinh.