Cho các số thực \(x,\,\,y\) thỏa mãn \(x + y + 2 = 0.\) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  

                                                              \(A = 3\left( {{x^2} + {y^2}} \right) + 10xy.\)

a. Chứng minh tứ giác \(CDHE\;\) nội tiếp đường tròn.

Xét \(\Delta \;ABC\) có:

\(AD\;\)là đường cao \[ \Rightarrow \]\(\widehat {ADC} = {90^0}\) \[ \Rightarrow \]\({\rm{\;\;}}\widehat {HDC} = {90^0}.\)

\(BE\;\)là đường cao \[ \Rightarrow \]\(\widehat {BEC} = {90^0}\)\[ \Rightarrow \]\({\rm{\;\;}}\widehat {HEC} = {90^0}.\)

Xét tứ giác \(CDHE\) có: \(\widehat {HDC} + \widehat {HEC} = {90^0} + {90^0} = {180^0}.\)

Vậy tứ giác \(CDHE\) là tứ giác nội tiếp đường tròn.

 b. Chứng minh: \(HA.\;HD = HB.\;HE.\)

Xét \(\Delta \;AHE\;\)và \(\Delta BHD\) có:

       \(\widehat {BHD} = \widehat {AHE}\) ( đối đỉnh)

      \(\widehat D = \widehat E = {90^0}.\)

  \(\Delta \;BHD\;\)và \(\;\Delta \;AHE\) đồng dạng \(\left( {\;g\'o c - g\'o c} \right)\)

Vậy \(\;\;\frac{{BH}}{{HA}} = {\rm{\;}}\frac{{HD}}{{HE}}\) \[ \Leftrightarrow \]\(BH.\;HE = HD.\;HA\) (đpcm)

c. Gọi điểm \(\;I\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác \(CDHE.\) Chứng minh \(IE\) là tiếp tuyến của đường tròn đường kính \(AB.\) .

* Xét tứ giác \(BAED\) có: \(\widehat {BDA} = \widehat {BEA} = {90^0}\)\[ \Rightarrow \]Tứ giác \(BAED\;\) nội tiếp đường tròn có tâm \(O,\) đường kính\(AB\)\[ \Rightarrow \]\(\widehat {OEA} = \widehat {OAE}\)    (vì \(\Delta OAE\) cân tại \(O)\)    (1)

             \[ \Rightarrow \] \(\widehat {BAE} = \widehat {EDC}\) ( cùng bù với \(\widehat {EDB}\)) hay  \(\widehat {OAE} = \widehat {EDC}\)      (2)

* Xét đường tròn \(\left( I \right)\) có: \(\widehat {EDC} = \widehat {EHC} = \;\frac{1}{2}\)sđ                            (3)

*  Ta có \(\Delta IEH\) cân tại \(I\)\[ \Rightarrow \]\(\widehat {EHI} = \widehat {IEH}\) hay  \(\widehat {EHC} = \widehat {IEB}\)             (4)

Từ (1), (2), (3), (4) \[ \Rightarrow \]\(\widehat {OEA} = \widehat {IEB}\)

Mà \(\widehat {OEI} = \widehat {OEB} + \widehat {IEB}\)\( = \widehat {OEB} + \widehat {OEA} = {90^0}\)

Vậy \[OE \bot EI\] tại \(E\) \[ \Rightarrow \]\(EI\) là tiếp tuyến của đường tròn đường kính \(AB.\)

a. Giải phương trình \(3{x^2} - 7x + 4 = 0.\)

Ta có \[a + b + c = 3 + ( - 7) + 4 = 0\]

Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1} = 1\) và \({x_2} = \frac{4}{3}.\)

b. Giải hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3x + y = 9}\\{2x - y = 1}\end{array}} \right..\)

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5x = 10\\2x - y = 1\end{array} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\2.2 - y = 1\end{array} \right.\]  \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 3\end{array} \right..\]

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất \[\left( {2;3} \right).\]

c. Cho phương trình \({x^2} - 2x + m + 3 = 0\;\;\)(\(x\) là ẩn số, \(m\) là tham số). Với giá trị nào của  \(m\) thì phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}\) thỏa mãn \(\;x_1^2.{x_2} + {x_1}.x_2^2 =  - \,4.\)

Ta có: \[\Delta  =  - 8 - 4m\]

Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi \(\Delta \; > 0\)

\[ \Leftrightarrow m <  - 2.\]

Theo hệ thức Vi-ét \[\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2\\{x_1}.{x_2} = m + 3\end{array} \right.\]

Theo đề bài  \(x_1^2.{x_2} + {x_1}.x_2^2 =  - 4\)

\[ \Leftrightarrow \]\({\rm{\;}}{x_1}.{x_2}.\left( {{x_1} + {x_2}} \right) =  - 4{\rm{\;}} \Leftrightarrow \left( {m + 3} \right).2 =  - 4{\rm{\;}}\)

\[ \Leftrightarrow \]\(m =  - 5\) (thỏa mãn).

Vậy  \(m =  - 5{\rm{\;}}\)thì phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn \(x_1^2.{x_2} + {x_1}.x_2^2 =  - 4.\)