Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + 3y = 4{\rm{ }}\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\\frac{1}{{x - 4}} + \frac{1}{y} = 1\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

1)Diện tích hình thang \[ABCD\] là \[\frac{{\left( {AB + DC} \right).AD}}{2} = \frac{{\left( {3 + 7} \right).5}}{2} = 25\,{m^2}.\]

Diện tích nửa hình tròn đường kính \[AD\] là \[\frac{{\pi .{{\left( {2,5} \right)}^2}}}{2} = \frac{{25\pi }}{8}\,{m^2}.\]

Diện tích phần đất trồng cỏ là \[25 - \frac{{25\pi }}{8} \approx 15,19\,{m^2}.\]

                  Chú ý: Nếu học sinh không làm tròn thì trừ 0,25 điểm bước này.

2a) Ta có \[\widehat {BMN} = {90^0} \Rightarrow \] \[M\]thuộc đường tròn đường kính \[BN.\]

Ta có \[\widehat {BEN} = {90^0} \Rightarrow \] \[E\] thuộc đường tròn đường kính \[BN.\]

Do đó bốn điểm \[B,\,M,\,E,\,N\] cùng thuộc đường tròn đường kính \[BN.\]

Chứng minh được \[\widehat {MBN} = \widehat {MEA}\].

Xét \[\Delta AEH\] vuông tại \[E,\] có \[EM\] là đường trung tuyến

\[ \Rightarrow EM = AM \Rightarrow \Delta AME\] cân tại \[M \Rightarrow \widehat {MEA} = \widehat {MAE} \Rightarrow \widehat {MBN} = \widehat {KAC}.\]

b)Xét \[(O)\]có \[\widehat {KBC} = \widehat {KAC}\] mà \[\widehat {KAC} = \widehat {EBC}\] (cùng phụ với \[\widehat {ACB}\]) \[ \Rightarrow \widehat {KBC} = \widehat {EBC}\]

\[ \Rightarrow BC\] là tia phân giác của góc \[\widehat {KBH}.\] Lại có \[BC \bot HK \Rightarrow \Delta BHK\]cân tại \[B.\]

\[ \Rightarrow \widehat {BKH} = \widehat {BHK}.\] Ta có \[\widehat {BHK} = \widehat {MHE} = \widehat {MEH} = \widehat {MNB} \Rightarrow \widehat {BKM} = \widehat {BNM.}\]

Do đó tứ giác \[BMNK\] nội tiếp.

\[ \Rightarrow \widehat {BMN} + \widehat {BKN} = {180^0} \Rightarrow \widehat {BKN} = \widehat {BKT} = {90^0}\]\[ \Rightarrow K\]thuộc đường tròn đường kính \[BT.\] Mà \[B,\,K,\,T \in \left( O \right) \Rightarrow BT\]là đường kính của \[(O) \Rightarrow B,\,O,\,T\]thẳng hàng.

a)\[\sqrt {27}  - 2\sqrt {12}  + \sqrt {4 - 2\sqrt 3 }  = 3\sqrt 3  - 4\sqrt 3  + \sqrt {{{\left( {\sqrt 3  - 1} \right)}^2}} \]

\[ =  - \sqrt 3  + \left| {\sqrt 3  - 1} \right| =  - \sqrt 3  + \sqrt 3  - 1 =  - 1.\]

Vậy \[\sqrt {27}  - 2\sqrt {12}  + \sqrt {4 - 2\sqrt 3 }  =  - 1.\]

b)Với \(x \ge 0\)và \(x \ne 9\) ta có \(A = \left( {\frac{{9 - \sqrt x }}{{\left( {\sqrt x  - 3} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right)}} + \frac{2}{{\sqrt x  + 3}}} \right):\frac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  - 3}}\)

\[ = \frac{{9 - \sqrt x  + 2\left( {\sqrt x  - 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x  - 3} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right)}}:\frac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  - 3}} = \frac{{\sqrt x  + 3}}{{\left( {\sqrt x  - 3} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right)}}:\frac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  - 3}}\]

\( = \frac{{\sqrt x  + 3}}{{\left( {\sqrt x  - 3} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right)}}.\frac{{\sqrt x  - 3}}{{\sqrt x  + 1}}\)

\( = \frac{1}{{\sqrt x  + 1}}.\) Vậy \[A = \frac{1}{{\sqrt x  + 1}}\] với \(x \ge 0\) và \(x \ne 9.\)