Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán năm 2023-2024 Nam Định có đáp án

Cho \(\Delta ABC\)có \(\widehat {BAC} = {45^o},\) nội tiếp trong đường tròn tâm \(O\) bán kính \(2\,cm.\) Diện tích tam giác \(OBC\) bằng

a) Tìm toạ độ giao điểm của đồ thị hai hàm số \(y = {x^2}\) và \(y =  - 2x + 3.\)

Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + 3y = 4{\rm{ }}\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\\frac{1}{{x - 4}} + \frac{1}{y} = 1\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

2) Cho tam giác \[ABC\]nhọn \[\left( {AB < AC} \right)\] nội tiếp \[(O).\] Hai đường cao \[AD\] và \[BE\] cắt nhau tại \[H.\] Gọi \[M\]là trung điểm của \[AH,\] đường thẳng đi qua \[M\]vuông góc với \[BM\]cắt \[AC\]tại \[N.\] Gọi \[K\]là giao điểm thứ hai của \[AH\]với đường tròn tâm \[O.\]

a) Chứng minh rằng bốn điểm \[B,\,M,\,E,\,N\] cùng thuộc một đường tròn và \[\widehat {MBN} = \widehat {KAC}.\]

b) Kéo dài \[KN\]cắt đường tròn \[\left( O \right)\]tại \[T.\] Chứng minh rằng tam giác \[BHK\]cân và ba điểm \[B,\,O,\,T\] thẳng hàng.

a) Giải phương trình \({x^2} + 4x = 2\sqrt {1 + 3x}  + \sqrt {2x - 1} .\)

b) Cho \(x,\,y,\,\,z\) là các số thực dương thỏa mãn \[x + y + z = 1.\] Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

\(P = \frac{{x + yz}}{{y + z}} + \frac{{y + zx}}{{z + x}} + \frac{{z + xy}}{{x + y}}.\)