1) Một mảnh vườn hình thang \(ABCD\) có \[\widehat {BAD} = \widehat {ADC} = {90^o},\] \[AB = 3\,m,\,\,AD = 5\,m,\,DC = 7\,m.\] Người ta trồng hoa trên phần đất là nửa hình tròn tâm \(O\) đường kính \(AD,\) phần còn lại của mảnh vườn để trồng cỏ (phần tô đậm trong hình vẽ bên). Tính diện tích phần đất trồng cỏ (kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai, lấy \[\pi  \approx 3,14\]).

2) Cho tam giác \[ABC\]nhọn \[\left( {AB < AC} \right)\] nội tiếp \[(O).\] Hai đường cao \[AD\] và \[BE\] cắt nhau tại \[H.\] Gọi \[M\]là trung điểm của \[AH,\] đường thẳng đi qua \[M\]vuông góc với \[BM\]cắt \[AC\]tại \[N.\] Gọi \[K\]là giao điểm thứ hai của \[AH\]với đường tròn tâm \[O.\]

a) Chứng minh rằng bốn điểm \[B,\,M,\,E,\,N\] cùng thuộc một đường tròn và \[\widehat {MBN} = \widehat {KAC}.\]

b) Kéo dài \[KN\]cắt đường tròn \[\left( O \right)\]tại \[T.\] Chứng minh rằng tam giác \[BHK\]cân và ba điểm \[B,\,O,\,T\] thẳng hàng.

1)Diện tích hình thang \[ABCD\] là \[\frac{{\left( {AB + DC} \right).AD}}{2} = \frac{{\left( {3 + 7} \right).5}}{2} = 25\,{m^2}.\]

Diện tích nửa hình tròn đường kính \[AD\] là \[\frac{{\pi .{{\left( {2,5} \right)}^2}}}{2} = \frac{{25\pi }}{8}\,{m^2}.\]

Diện tích phần đất trồng cỏ là \[25 - \frac{{25\pi }}{8} \approx 15,19\,{m^2}.\]

                  Chú ý: Nếu học sinh không làm tròn thì trừ 0,25 điểm bước này.

2a) Ta có \[\widehat {BMN} = {90^0} \Rightarrow \] \[M\]thuộc đường tròn đường kính \[BN.\]

Ta có \[\widehat {BEN} = {90^0} \Rightarrow \] \[E\] thuộc đường tròn đường kính \[BN.\]

Do đó bốn điểm \[B,\,M,\,E,\,N\] cùng thuộc đường tròn đường kính \[BN.\]

Chứng minh được \[\widehat {MBN} = \widehat {MEA}\].

Xét \[\Delta AEH\] vuông tại \[E,\] có \[EM\] là đường trung tuyến

\[ \Rightarrow EM = AM \Rightarrow \Delta AME\] cân tại \[M \Rightarrow \widehat {MEA} = \widehat {MAE} \Rightarrow \widehat {MBN} = \widehat {KAC}.\]

b)Xét \[(O)\]có \[\widehat {KBC} = \widehat {KAC}\] mà \[\widehat {KAC} = \widehat {EBC}\] (cùng phụ với \[\widehat {ACB}\]) \[ \Rightarrow \widehat {KBC} = \widehat {EBC}\]

\[ \Rightarrow BC\] là tia phân giác của góc \[\widehat {KBH}.\] Lại có \[BC \bot HK \Rightarrow \Delta BHK\]cân tại \[B.\]

\[ \Rightarrow \widehat {BKH} = \widehat {BHK}.\] Ta có \[\widehat {BHK} = \widehat {MHE} = \widehat {MEH} = \widehat {MNB} \Rightarrow \widehat {BKM} = \widehat {BNM.}\]

Do đó tứ giác \[BMNK\] nội tiếp.

\[ \Rightarrow \widehat {BMN} + \widehat {BKN} = {180^0} \Rightarrow \widehat {BKN} = \widehat {BKT} = {90^0}\]\[ \Rightarrow K\]thuộc đường tròn đường kính \[BT.\] Mà \[B,\,K,\,T \in \left( O \right) \Rightarrow BT\]là đường kính của \[(O) \Rightarrow B,\,O,\,T\]thẳng hàng.