Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB và điểm C thuộc nửa đường tròn đó (C khác A và B). Lấy điểm E thuộc cung AC (E khác A và C) sao cho AE<BC, gọi M là giao điểm của AC và BE. Kẻ MH vuông góc với AB tại H.

1. Chứng minh tứ giác BCMH nội tiếp.

2. Chứng minh \(\Delta ACE\) đồng dạng với \(\Delta HCM.\)

3. Gọi K là giao điểm của OE và HC. Chứng minh \(KE.KO = KC.KH.\)

1.Xét tứ giác BCMH có

\(\widehat {BCM} = \widehat {ACB} = {90^0}\)(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

\(\widehat {MHB} = {90^0}\) (vì \(MH \bot AB\))

Suy ra \(\widehat {BCM} + \widehat {MHB} = {180^0}\)nên tứ giác BCMH nội tiếp đường tròn.

2.Xét \(\Delta ACE\) và \(\Delta HCM\) có: \(\widehat {EAC} = \widehat {EBC}\)(Cùng chắn cung )

\(\widehat {MHC} = \widehat {EBC}\)(Cùng chắn cung )

Suy ra \(\widehat {EAC} = \widehat {MHC}{\rm{  }}\left( 1 \right)\)

Tương tự ta có \(\widehat {ACE} = \widehat {MCH}{\rm{  }}\left( 2 \right)\), (cùng bằng \(\widehat {ABE}\))

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) suy ra \(\Delta ACE\) ∽ \(\Delta HCM{\rm{  }}\left( {g - g} \right)\) (đpcm)

3.Chứng minh được tứ giác AEMH nội tiếp

Suy ra \(\widehat {CAB} = \widehat {MEH}\) (Cùng chắn cung )    

Mà \(\widehat {CAB} = \widehat {CEB}\) (Cùng chắn cung )    

Suy ra \(\widehat {CAB} = \widehat {MEH} = \widehat {CEB}\)

Ta có \(\widehat {COB} = 2.\widehat {CAB}\) (góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn )

Do đó \(\widehat {COB} = 2.\widehat {CEB} = \widehat {CEH}\) nên tứ giác CEHO nội tiếp

Suy ra \(\widehat {HEO} = \widehat {HCO}\) và \(\widehat {EHC} = \widehat {EOC}\)

Nên \(\Delta EKH\) ∽ \(\Delta CKO{\rm{  }}\left( {g - g} \right)\)

\( \Rightarrow \frac{{KE}}{{KC}} = \frac{{KH}}{{KO}}\)\( \Rightarrow KE.KO = KC.KH\)