Cho phương trình \({x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x - 9 = 0\), với \(m\) là tham số.
a) Giải phương trình khi \(m = 3\);
b) Tìm các giá trị của \(m\) để phương trình có nghiệm \(x = 2\);
c) Tìm các giá trị của \(m\) để phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\) sao cho \({x_1} < {x_2}\) và \(\left| {{x_1}} \right| - \left| {{x_2}} \right| =  - 6\).

a) Do \[AH \bot BC\left( {gt} \right);AE \bot BD\left( {gt} \right) \Rightarrow \widehat {AHB} = \widehat {AEB} = 90^\circ \]
Mà \({\rm{E}},{\rm{H}}\) là hai đỉnh kề nhau, cùng nhìn \({\rm{AD}}\) dưới 2 góc bằng nhau nên \({\rm{A}},{\rm{E}},{\rm{H}},{\rm{B}}\) cùng thuộc một đường tròn.
Hay tứ giác \(ABHE\) nội tiếp (đpcm)
b) Ta có \(\widehat {BDC} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).
Xét \(\Delta BIH\) và \(\Delta BCD\) có:
\(\widehat {CBD}\) chung;
\[\widehat {BHI} = \widehat {BDC} = 90^\circ \]

\( \Rightarrow BI \cdot BD = BH \cdot BC\) (đpcm)
c) Do \(ABHE\) nội tiếp (cmt) nên \(\widehat {AHE} = \widehat {ABE}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \({\rm{AE}}\) )
Mà \(\widehat {ABE} = \widehat {ACD}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \({\rm{AD}}\) )

\( \Rightarrow \widehat {AHE} = \widehat {ACD}\).

Do \(ABHE\) nội tiếp (cmt) nên \(\widehat {HAE = }\widehat {HBE} = \widehat {CBD}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung HE)
Lại có tứ giác \({\rm{ABCD}}\) nội tiếp \(\left( O \right) \Rightarrow \widehat {CBD} = \widehat {CAD}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \({\rm{CD}}\))

\( \Rightarrow \widehat {HAE} = \widehat {CAD}\)

Xét tam giác \({\rm{AHE}}\) và tam giác \({\rm{ACD}}\) có:

\[\widehat {AHE} = \widehat {ACD}\left( {{\rm{cmt}}} \right)\]

\[\widehat {HAE} = \widehat {CAD}\left( {{\rm{cmt}}} \right)\]

\[ \Rightarrow \Delta AEH \sim \Delta \Delta ADC\left( {g \cdot g} \right)\]        \[\begin{array}{*{20}{r}}{}&{}\\{}&{}\\{}&\;\end{array}\]

d) Hai đường thẳng \(AE\) và \(DH\) cắt nhau tại \(F\). Chứng minh \(IF{\rm{//}}AD\).

a) \(2\sqrt 9  - \sqrt {16}  = 2 \cdot \sqrt {{3^2}}  - \sqrt {{4^2}}  = 2.3 - 4 = 6 - 4 = 2\)

b) Thay \({\rm{x}} = 1,{\rm{y}} = 2\) vào hàm số \(y = a{x^2}\) ta có:

\(2 = a{.1^2} \Leftrightarrow a = 2\).
Vậy \(a = 2\).

c) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x + y = 7}\\{x - 2y =  - 4}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x + y = 7}\\{x = 2y - 4}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2\left( {2y - 4} \right) + y = 7}\\{x = 2y - 4}\end{array}} \right.} \right.} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{4y - 8 + y = 7}\\{x = 2y - 4}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{5y = 15}\\{x = 2y - 4}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y = 3}\\{x = 2y - 4}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2}\\{y = 3}\end{array}} \right.} \right.} \right.} \right.\)

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất \(\left( {2;3} \right)\).
d) Với \(x \ge 0,x \ne 1,x \ne 9\) ta có:

\(P = \left( {\frac{1}{{\sqrt x  - 3}} + \frac{2}{{\sqrt x  + 3}}} \right):\frac{{\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x  - 3}}\)

\(P = \frac{{\sqrt x  + 3 + 2\left( {\sqrt x  - 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x  - 3} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right)}}:\frac{{\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x  - 3}}\)

\(P = \frac{{\sqrt x  + 3 + 2\sqrt x  - 6}}{{\left( {\sqrt x  - 3} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right)}} \cdot \frac{{\sqrt x  - 3}}{{\sqrt x  - 1}}\)

\(P = \frac{{3\sqrt x  - 3}}{{\sqrt x  + 3}} \cdot \frac{1}{{\sqrt x  - 1}}\)

\(\; = \frac{{3\left( {\sqrt x  - 1} \right)}}{{\sqrt x  + 3}} \cdot \frac{1}{{\sqrt x  - 1}}\)

\(P = \frac{3}{{\sqrt x  + 3}}\)