Cho phương trình \({x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x - 9 = 0\), với \(m\) là tham số.
a) Giải phương trình khi \(m = 3\);
b) Tìm các giá trị của \(m\) để phương trình có nghiệm \(x = 2\);
c) Tìm các giá trị của \(m\) để phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\) sao cho \({x_1} < {x_2}\) và \(\left| {{x_1}} \right| - \left| {{x_2}} \right| =  - 6\).

a) Do \[AH \bot BC\left( {gt} \right);AE \bot BD\left( {gt} \right) \Rightarrow \widehat {AHB} = \widehat {AEB} = 90^\circ \]
Mà \({\rm{E}},{\rm{H}}\) là hai đỉnh kề nhau, cùng nhìn \({\rm{AD}}\) dưới 2 góc bằng nhau nên \({\rm{A}},{\rm{E}},{\rm{H}},{\rm{B}}\) cùng thuộc một đường tròn.
Hay tứ giác \(ABHE\) nội tiếp (đpcm)
b) Ta có \(\widehat {BDC} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).
Xét \(\Delta BIH\) và \(\Delta BCD\) có:
\(\widehat {CBD}\) chung;
\[\widehat {BHI} = \widehat {BDC} = 90^\circ \]

\( \Rightarrow BI \cdot BD = BH \cdot BC\) (đpcm)
c) Do \(ABHE\) nội tiếp (cmt) nên \(\widehat {AHE} = \widehat {ABE}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \({\rm{AE}}\) )
Mà \(\widehat {ABE} = \widehat {ACD}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \({\rm{AD}}\) )

\( \Rightarrow \widehat {AHE} = \widehat {ACD}\).

Do \(ABHE\) nội tiếp (cmt) nên \(\widehat {HAE = }\widehat {HBE} = \widehat {CBD}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung HE)
Lại có tứ giác \({\rm{ABCD}}\) nội tiếp \(\left( O \right) \Rightarrow \widehat {CBD} = \widehat {CAD}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \({\rm{CD}}\))

\( \Rightarrow \widehat {HAE} = \widehat {CAD}\)

Xét tam giác \({\rm{AHE}}\) và tam giác \({\rm{ACD}}\) có:

\[\widehat {AHE} = \widehat {ACD}\left( {{\rm{cmt}}} \right)\]

\[\widehat {HAE} = \widehat {CAD}\left( {{\rm{cmt}}} \right)\]

\[ \Rightarrow \Delta AEH \sim \Delta \Delta ADC\left( {g \cdot g} \right)\]        \[\begin{array}{*{20}{r}}{}&{}\\{}&{}\\{}&\;\end{array}\]

d) Hai đường thẳng \(AE\) và \(DH\) cắt nhau tại \(F\). Chứng minh \(IF{\rm{//}}AD\).

Gọi cạnh hình lập phương bằng \(x\left( {{\rm{dm}}} \right)\). ĐK:
Gọi chiều cao bằng chiều rộng là  ĐK: .
Chiều dài hình hộp chữ nhật bằng .
Hình lập phương có 12 cạnh có độ dài bằng .
Hình hộp chữ nhật có 8 cạnh có độ dài bằng  và 4 cạnh có độ dài .
Người thợ cắt vừa đủ một cây sắt dài  nên ta có:

\({\rm{x}} > 0\)

Thể tích khối lập phương là \({V_1} = {x^3}\).
Thể tích khối hộp chữ nhật là \({V_2} = y \cdot y \cdot 6y = 6{y^3}\).
Tổng thể tích hai hình là: \(V = {V_1} + {V_2} = {x^3} + 6{y^3} = {\left( {\frac{{25 - 8y}}{3}} \right)^3} + 6{y^3}\).

\(12x + 8y + 4.6y = 100 \Leftrightarrow 12x + 32y = 100 \Leftrightarrow 3x + 8y = 25 \Leftrightarrow x = \frac{{25 - 8y}}{3}\)

Ta có: \({x^3} + {3^3} + {3^3} \ge 3\sqrt[3]{{{x^3} \cdot {3^3} \cdot {3^3}}} = 27x\)

\(6\left( {{y^3} + {2^3} + {2^3}} \right) \ge 6 \cdot 3 \cdot \sqrt[3]{{{y^3} \cdot {2^3} \cdot {2^3}}} = 72y\)

Cộng vế theo vế hai bất đẳng thức ta được:

\({x^3} + 6{y^3} + 150 \ge 27x + 72y\)

\( \Leftrightarrow V + 150 \ge 9\left( {3x + 8y} \right)\)

\( \Leftrightarrow V + 150 \ge 9.25\)

\( \Leftrightarrow V + 150 \ge 225\)

\( \Leftrightarrow V \ge 75\)

Dấu "=" xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 3}\\{y = 2}\end{array}} \right.\).

Vậy tổng thể tích của hai hình thu được nhỏ nhất bằng \(75{\rm{d}}{{\rm{m}}^3}\) khi độ dài cạnh hình lập phương bằng \(3{\rm{dm}}\), độ dài chiều rộng và chiều cao hình hộp chữ nhật bằng \(2{\rm{dm}}\), chiều dài hình hộp chữ nhật bằng \(12{\rm{dm}}\).