Một người thợ cơ khí cần cắt vừa đủ một cây sắt dài 100 dm thành các đọan để hàn lại thành khung một hình lập phương và một hình hộp chữ nhật. Biết hình hộp chữ nhật có chiều dài gấp 6 lần chiều rộng và chiều cao bằng chiều rộng (hình vẽ minh họa). Tìm độ dài của các đoạn sắt sao cho tổng thể tích của hai hình thu được nhỏ nhất?

a) Do \[AH \bot BC\left( {gt} \right);AE \bot BD\left( {gt} \right) \Rightarrow \widehat {AHB} = \widehat {AEB} = 90^\circ \]
Mà \({\rm{E}},{\rm{H}}\) là hai đỉnh kề nhau, cùng nhìn \({\rm{AD}}\) dưới 2 góc bằng nhau nên \({\rm{A}},{\rm{E}},{\rm{H}},{\rm{B}}\) cùng thuộc một đường tròn.
Hay tứ giác \(ABHE\) nội tiếp (đpcm)
b) Ta có \(\widehat {BDC} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).
Xét \(\Delta BIH\) và \(\Delta BCD\) có:
\(\widehat {CBD}\) chung;
\[\widehat {BHI} = \widehat {BDC} = 90^\circ \]

\( \Rightarrow BI \cdot BD = BH \cdot BC\) (đpcm)
c) Do \(ABHE\) nội tiếp (cmt) nên \(\widehat {AHE} = \widehat {ABE}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \({\rm{AE}}\) )
Mà \(\widehat {ABE} = \widehat {ACD}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \({\rm{AD}}\) )

\( \Rightarrow \widehat {AHE} = \widehat {ACD}\).

Do \(ABHE\) nội tiếp (cmt) nên \(\widehat {HAE = }\widehat {HBE} = \widehat {CBD}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung HE)
Lại có tứ giác \({\rm{ABCD}}\) nội tiếp \(\left( O \right) \Rightarrow \widehat {CBD} = \widehat {CAD}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \({\rm{CD}}\))

\( \Rightarrow \widehat {HAE} = \widehat {CAD}\)

Xét tam giác \({\rm{AHE}}\) và tam giác \({\rm{ACD}}\) có:

\[\widehat {AHE} = \widehat {ACD}\left( {{\rm{cmt}}} \right)\]

\[\widehat {HAE} = \widehat {CAD}\left( {{\rm{cmt}}} \right)\]

\[ \Rightarrow \Delta AEH \sim \Delta \Delta ADC\left( {g \cdot g} \right)\]        \[\begin{array}{*{20}{r}}{}&{}\\{}&{}\\{}&\;\end{array}\]

d) Hai đường thẳng \(AE\) và \(DH\) cắt nhau tại \(F\). Chứng minh \(IF{\rm{//}}AD\).

a) Khi \(m = 3\) phương trình trở thành: \({x^2} - 8x - 9 = 0\),

ta có: \({\rm{\Delta '}} = {( - 4)^2} - 1 \cdot \left( { - 9} \right) = 25 > 0\)
Suy ra phương trình có hai nghiệm phân biệt:

\({x_1} = \frac{{4 + \sqrt {25} }}{1} = 9;{x_2} = \frac{{4 - \sqrt {25} }}{1} =  - 1\)

Vậy với \(m = 3\) phương trình có hai nghiệm phân biệt  \({x_1} = 9;{x_2} =  - 1\)

b) \(ac = 1.\left( { - 9} \right) < 0\) nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.

Phương trình có nghiệm \(x = 2\) nên thay \(x = 2\) vào phương trình ta có:

\(\begin{array}{l}{2^2} - 2\left( {m + 1} \right)2 - 9 = 0 \Leftrightarrow 4 - 4m - 4 - 9 = 0\\ \Leftrightarrow  - 4m - 9 = 0\\ \Leftrightarrow m =  - \frac{9}{4}\end{array}\)

Vậy để phương trình có nghiệm \(x = 2\) thì \(m =  - \frac{9}{4}\).
c) Xét phương trình \({x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x - 9 = 0\) có \(a \cdot c =  - 9 < 0\) nên phương trình luôn có 2 nghiệm trái dấu \({x_1},{x_2}\)

Áp dụng hệ thức viet ta có \({x_1} + {x_2} = 2\left( {m + 1} \right)\)

Mà \({x_1} < {x_2} \Rightarrow {x_1} < 0 < {x_2}\)

\(\left| {{x_1}} \right| - \left| {{x_2}} \right| =  - 6\)

\( - {x_1} - {x_2} =  - 6\)

\( \Leftrightarrow \)\( - \left( {{x_1} + {x_2}} \right) =  - 6\)

\( \Leftrightarrow m + 1 = 3\)

\( \Leftrightarrow {x_1} + {x_2} = 6\)