Hai địa điểm \(A\) và \(B\) cách nhau \(280{\rm{\;km}}\). Hai ô tô cùng xuất phát từ \(A\) đến B. Biết vận tốc của xe thứ nhất lớn hơn vận tốc của xe thứ hai \(10{\rm{\;}}\)\(km/h\) và xe thứ nhất đến \(B\) sớm hơn xe thứ hai 30 phút. Tỉnh vận tốc mỗi xe?

a) Do \[AH \bot BC\left( {gt} \right);AE \bot BD\left( {gt} \right) \Rightarrow \widehat {AHB} = \widehat {AEB} = 90^\circ \]
Mà \({\rm{E}},{\rm{H}}\) là hai đỉnh kề nhau, cùng nhìn \({\rm{AD}}\) dưới 2 góc bằng nhau nên \({\rm{A}},{\rm{E}},{\rm{H}},{\rm{B}}\) cùng thuộc một đường tròn.
Hay tứ giác \(ABHE\) nội tiếp (đpcm)
b) Ta có \(\widehat {BDC} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).
Xét \(\Delta BIH\) và \(\Delta BCD\) có:
\(\widehat {CBD}\) chung;
\[\widehat {BHI} = \widehat {BDC} = 90^\circ \]

\( \Rightarrow BI \cdot BD = BH \cdot BC\) (đpcm)
c) Do \(ABHE\) nội tiếp (cmt) nên \(\widehat {AHE} = \widehat {ABE}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \({\rm{AE}}\) )
Mà \(\widehat {ABE} = \widehat {ACD}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \({\rm{AD}}\) )

\( \Rightarrow \widehat {AHE} = \widehat {ACD}\).

Do \(ABHE\) nội tiếp (cmt) nên \(\widehat {HAE = }\widehat {HBE} = \widehat {CBD}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung HE)
Lại có tứ giác \({\rm{ABCD}}\) nội tiếp \(\left( O \right) \Rightarrow \widehat {CBD} = \widehat {CAD}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \({\rm{CD}}\))

\( \Rightarrow \widehat {HAE} = \widehat {CAD}\)

Xét tam giác \({\rm{AHE}}\) và tam giác \({\rm{ACD}}\) có:

\[\widehat {AHE} = \widehat {ACD}\left( {{\rm{cmt}}} \right)\]

\[\widehat {HAE} = \widehat {CAD}\left( {{\rm{cmt}}} \right)\]

\[ \Rightarrow \Delta AEH \sim \Delta \Delta ADC\left( {g \cdot g} \right)\]        \[\begin{array}{*{20}{r}}{}&{}\\{}&{}\\{}&\;\end{array}\]

d) Hai đường thẳng \(AE\) và \(DH\) cắt nhau tại \(F\). Chứng minh \(IF{\rm{//}}AD\).

a) Khi \(m = 3\) phương trình trở thành: \({x^2} - 8x - 9 = 0\),

ta có: \({\rm{\Delta '}} = {( - 4)^2} - 1 \cdot \left( { - 9} \right) = 25 > 0\)
Suy ra phương trình có hai nghiệm phân biệt:

\({x_1} = \frac{{4 + \sqrt {25} }}{1} = 9;{x_2} = \frac{{4 - \sqrt {25} }}{1} =  - 1\)

Vậy với \(m = 3\) phương trình có hai nghiệm phân biệt  \({x_1} = 9;{x_2} =  - 1\)

b) \(ac = 1.\left( { - 9} \right) < 0\) nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.

Phương trình có nghiệm \(x = 2\) nên thay \(x = 2\) vào phương trình ta có:

\(\begin{array}{l}{2^2} - 2\left( {m + 1} \right)2 - 9 = 0 \Leftrightarrow 4 - 4m - 4 - 9 = 0\\ \Leftrightarrow  - 4m - 9 = 0\\ \Leftrightarrow m =  - \frac{9}{4}\end{array}\)

Vậy để phương trình có nghiệm \(x = 2\) thì \(m =  - \frac{9}{4}\).
c) Xét phương trình \({x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x - 9 = 0\) có \(a \cdot c =  - 9 < 0\) nên phương trình luôn có 2 nghiệm trái dấu \({x_1},{x_2}\)

Áp dụng hệ thức viet ta có \({x_1} + {x_2} = 2\left( {m + 1} \right)\)

Mà \({x_1} < {x_2} \Rightarrow {x_1} < 0 < {x_2}\)

\(\left| {{x_1}} \right| - \left| {{x_2}} \right| =  - 6\)

\( - {x_1} - {x_2} =  - 6\)

\( \Leftrightarrow \)\( - \left( {{x_1} + {x_2}} \right) =  - 6\)

\( \Leftrightarrow m + 1 = 3\)

\( \Leftrightarrow {x_1} + {x_2} = 6\)