Cho nửa đường tròn tâm \(O\), đường kính \(BC\). Trên nửa đường tròn \(\left( O \right)\) lấy điểm \(A\) (\(A\) khác \(B\) và \(C)\), gọi \(H\) là hình chiếu của \(A\) trên \(BC\). Trên cung \(AC\) của nửa đường tròn \(\left( O \right)\) lấy điểm \(D\) (\(D\) khác \(A\) và \(C\)), gọi \(E\) là hình chiếu của \(A\) trên \(BD,\) \(I\)là giao điểm của hai đường thẳng \(AH\) và \(BD\).
a) Chứng minh tứ giác \(ABHE\) nội tiếp;
b) Chứng minh \(BI \cdot BD = BH \cdot BC\);
c) Chứng minh hai tam giác \(AHE\) và \(ACD\) đồng dạng;
d) Hai đường thẳng \(AE\) và \(DH\) cắt nhau tại \(F\). Chứng minh \(IF{\rm{//}}AD\).

a) Khi \(m = 3\) phương trình trở thành: \({x^2} - 8x - 9 = 0\),

ta có: \({\rm{\Delta '}} = {( - 4)^2} - 1 \cdot \left( { - 9} \right) = 25 > 0\)
Suy ra phương trình có hai nghiệm phân biệt:

\({x_1} = \frac{{4 + \sqrt {25} }}{1} = 9;{x_2} = \frac{{4 - \sqrt {25} }}{1} =  - 1\)

Vậy với \(m = 3\) phương trình có hai nghiệm phân biệt  \({x_1} = 9;{x_2} =  - 1\)

b) \(ac = 1.\left( { - 9} \right) < 0\) nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.

Phương trình có nghiệm \(x = 2\) nên thay \(x = 2\) vào phương trình ta có:

\(\begin{array}{l}{2^2} - 2\left( {m + 1} \right)2 - 9 = 0 \Leftrightarrow 4 - 4m - 4 - 9 = 0\\ \Leftrightarrow  - 4m - 9 = 0\\ \Leftrightarrow m =  - \frac{9}{4}\end{array}\)

Vậy để phương trình có nghiệm \(x = 2\) thì \(m =  - \frac{9}{4}\).
c) Xét phương trình \({x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x - 9 = 0\) có \(a \cdot c =  - 9 < 0\) nên phương trình luôn có 2 nghiệm trái dấu \({x_1},{x_2}\)

Áp dụng hệ thức viet ta có \({x_1} + {x_2} = 2\left( {m + 1} \right)\)

Mà \({x_1} < {x_2} \Rightarrow {x_1} < 0 < {x_2}\)

\(\left| {{x_1}} \right| - \left| {{x_2}} \right| =  - 6\)

\( - {x_1} - {x_2} =  - 6\)

\( \Leftrightarrow \)\( - \left( {{x_1} + {x_2}} \right) =  - 6\)

\( \Leftrightarrow m + 1 = 3\)

\( \Leftrightarrow {x_1} + {x_2} = 6\)

a) \(2\sqrt 9  - \sqrt {16}  = 2 \cdot \sqrt {{3^2}}  - \sqrt {{4^2}}  = 2.3 - 4 = 6 - 4 = 2\)

b) Thay \({\rm{x}} = 1,{\rm{y}} = 2\) vào hàm số \(y = a{x^2}\) ta có:

\(2 = a{.1^2} \Leftrightarrow a = 2\).
Vậy \(a = 2\).

c) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x + y = 7}\\{x - 2y =  - 4}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x + y = 7}\\{x = 2y - 4}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2\left( {2y - 4} \right) + y = 7}\\{x = 2y - 4}\end{array}} \right.} \right.} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{4y - 8 + y = 7}\\{x = 2y - 4}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{5y = 15}\\{x = 2y - 4}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y = 3}\\{x = 2y - 4}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2}\\{y = 3}\end{array}} \right.} \right.} \right.} \right.\)

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất \(\left( {2;3} \right)\).
d) Với \(x \ge 0,x \ne 1,x \ne 9\) ta có:

\(P = \left( {\frac{1}{{\sqrt x  - 3}} + \frac{2}{{\sqrt x  + 3}}} \right):\frac{{\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x  - 3}}\)

\(P = \frac{{\sqrt x  + 3 + 2\left( {\sqrt x  - 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x  - 3} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right)}}:\frac{{\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x  - 3}}\)

\(P = \frac{{\sqrt x  + 3 + 2\sqrt x  - 6}}{{\left( {\sqrt x  - 3} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right)}} \cdot \frac{{\sqrt x  - 3}}{{\sqrt x  - 1}}\)

\(P = \frac{{3\sqrt x  - 3}}{{\sqrt x  + 3}} \cdot \frac{1}{{\sqrt x  - 1}}\)

\(\; = \frac{{3\left( {\sqrt x  - 1} \right)}}{{\sqrt x  + 3}} \cdot \frac{1}{{\sqrt x  - 1}}\)

\(P = \frac{3}{{\sqrt x  + 3}}\)