Cho nửa đường tròn tâm \(O\), đường kính \(BC\). Trên nửa đường tròn \(\left( O \right)\) lấy điểm \(A\) (\(A\) khác \(B\) và \(C)\), gọi \(H\) là hình chiếu của \(A\) trên \(BC\). Trên cung \(AC\) của nửa đường tròn \(\left( O \right)\) lấy điểm \(D\) (\(D\) khác \(A\) và \(C\)), gọi \(E\) là hình chiếu của \(A\) trên \(BD,\) \(I\)là giao điểm của hai đường thẳng \(AH\) và \(BD\).
a) Chứng minh tứ giác \(ABHE\) nội tiếp;
b) Chứng minh \(BI \cdot BD = BH \cdot BC\);
c) Chứng minh hai tam giác \(AHE\) và \(ACD\) đồng dạng;
d) Hai đường thẳng \(AE\) và \(DH\) cắt nhau tại \(F\). Chứng minh \(IF{\rm{//}}AD\).

Gọi cạnh hình lập phương bằng \(x\left( {{\rm{dm}}} \right)\). ĐK:
Gọi chiều cao bằng chiều rộng là  ĐK: .
Chiều dài hình hộp chữ nhật bằng .
Hình lập phương có 12 cạnh có độ dài bằng .
Hình hộp chữ nhật có 8 cạnh có độ dài bằng  và 4 cạnh có độ dài .
Người thợ cắt vừa đủ một cây sắt dài  nên ta có:

\({\rm{x}} > 0\)

Thể tích khối lập phương là \({V_1} = {x^3}\).
Thể tích khối hộp chữ nhật là \({V_2} = y \cdot y \cdot 6y = 6{y^3}\).
Tổng thể tích hai hình là: \(V = {V_1} + {V_2} = {x^3} + 6{y^3} = {\left( {\frac{{25 - 8y}}{3}} \right)^3} + 6{y^3}\).

\(12x + 8y + 4.6y = 100 \Leftrightarrow 12x + 32y = 100 \Leftrightarrow 3x + 8y = 25 \Leftrightarrow x = \frac{{25 - 8y}}{3}\)

Ta có: \({x^3} + {3^3} + {3^3} \ge 3\sqrt[3]{{{x^3} \cdot {3^3} \cdot {3^3}}} = 27x\)

\(6\left( {{y^3} + {2^3} + {2^3}} \right) \ge 6 \cdot 3 \cdot \sqrt[3]{{{y^3} \cdot {2^3} \cdot {2^3}}} = 72y\)

Cộng vế theo vế hai bất đẳng thức ta được:

\({x^3} + 6{y^3} + 150 \ge 27x + 72y\)

\( \Leftrightarrow V + 150 \ge 9\left( {3x + 8y} \right)\)

\( \Leftrightarrow V + 150 \ge 9.25\)

\( \Leftrightarrow V + 150 \ge 225\)

\( \Leftrightarrow V \ge 75\)

Dấu "=" xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 3}\\{y = 2}\end{array}} \right.\).

Vậy tổng thể tích của hai hình thu được nhỏ nhất bằng \(75{\rm{d}}{{\rm{m}}^3}\) khi độ dài cạnh hình lập phương bằng \(3{\rm{dm}}\), độ dài chiều rộng và chiều cao hình hộp chữ nhật bằng \(2{\rm{dm}}\), chiều dài hình hộp chữ nhật bằng \(12{\rm{dm}}\).

Gọi vận tốc của xe thứ hai là \(x({\rm{\;km}}/{\rm{h}},x > 0)\).
Vì vận tốc của xe thứ nhất lớn hơn vận tốc của xe thứ hai là \(10{\rm{\;km}}/{\rm{h}}\) nên vận tốc của xe thứ nhất là \(x + 10\) \(\left( {{\rm{km}}/{\rm{h}}} \right)\)
Thời gian xe thứ nhất đi từ \({\rm{A}}\) đến \({\rm{B}}\) là: \(\frac{{280}}{{x + 10}}\) (giờ)
Thời gian xe thứ hai đi từ \({\rm{A}}\) đến \({\rm{B}}\) là: \(\frac{{280}}{x}\) (giờ)
Vi xe thứ nhất đến \({\rm{B}}\) sớm hơn xe thứ hai 30 phút \( = \frac{1}{2}\) giờ nên ta có:

\(\frac{{280}}{x} - \frac{{280}}{{x + 10}} = \frac{1}{2}\)

\( \Leftrightarrow \frac{{560\left( {x + 10} \right)}}{{2x\left( {x + 10} \right)}} - \frac{{560x}}{{2x\left( {x + 10} \right)}} = \frac{{x\left( {x + 10} \right)}}{{2x\left( {x + 10} \right)}}\)

\( \Leftrightarrow 560\left( {x + 10} \right) - 560x = x\left( {x + 10} \right)\)

\( \Leftrightarrow 560x + 5600 - 560x = {x^2} + 10x\)

\( \Leftrightarrow {x^2} + 10x - 5600 = 0\)

\( \Leftrightarrow {x^2} - 70x + 80x - 5600 = 0\)

\[ \Leftrightarrow x\left( {x - 70} \right) + 80\left( {x - 70} \right) = 0\]

\( \Leftrightarrow \left( {x + 80} \right)\left( {x - 70} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 80 = 0}\\{x - 70 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x =  - 80{\rm{\;\;}}\left( {KTM} \right)}\\{x = 70{\rm{(TM)}}}\end{array}} \right)} \right.{\rm{\;}}\)