Cho hàm số \(y =  - {x^2}\) có đồ thị là parabol \((P)\) và hàm số \(y = x - m\) có đồ thị là đường thẳng \((d)\) (với \(m\) là tham số).

a) Vẽ đồ thị \((P)\) trên mặt phẳng tọa độ \[Oxy.\]

b) Tìm giá trị của \(m\) để đường thẳng \((d)\)cắt parabol \((P)\) tại hai điểm phân biệt có hoành độ \({x_1},{x_2}\) sao cho biểu thức \(T = {x_1}\left( {1 - {x_2}} \right) + {x_2}\left( {1 - {x_1}} \right) - 2x_1^2x_2^2\) đạt giá trị lớn nhất.

a) Chứng minh \(AONH\) là tứ giác nội tiếp.

Xét tứ giác AONH có :

\(\widehat {AHN} = \widehat {AON} = {90^0}\)

\( \Rightarrow \widehat {AHN} + \widehat {AON} = {180^0}\)

\( \Rightarrow \)Tứ giác AONH là tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh \(CO.CA = CN.CH.\)

Xét ∆CON và ∆CHA có :

\(\widehat {ACH}\) chung

c) Tính độ dài đường cao \(NI\) của tam giác \(NHO.\)

Kẻ \(NI \bot OH\) tại I

Xét \(\Delta OIN\) và \(\Delta AHN\) có :

\(\widehat {NOI} = \widehat {NAH}\)(cùng chắn )

\(\widehat {OIN} = \widehat {AHN} = {90^0}\)

Ta có : N là trung điểm của BC (gt)

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{AB \bot AC}\\{ON \bot AC}\end{array}} \right. \Rightarrow ON\parallel AB\)

⇒ O là trung điểm của AC

⇒ ON là đường trung bình của tam giác ABC.

\( \Rightarrow ON = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}.6 = 3(cm).\)

Xét tam giác ABC \(\left( {\widehat A = {{90}^0}} \right)\), đường cao AH có \(BC = 10cm\)

\( \Rightarrow BN = \frac{1}{2}BC = 5(cm)\)

\(\begin{array}{l}AN = \frac{1}{2}BC = 5(cm)\\BH = \frac{{A{B^2}}}{{BC}} = \frac{{{6^2}}}{{10}} = 3,6(cm)\end{array}\)

\( \Rightarrow HN = BN - BH = 5 - 3,6 = 1,4(cm)\)

Thay độ dài ON, HN, AN vào (*) ta có \(NI = \frac{{ON.HN}}{{AN}} = \frac{{3.1,4}}{5} = 0,84(cm).\)