Trong kỳ thi tuyển sinh lớp 10 năm học 2023-2024 của tỉnh Sóc Trăng, bạn An trúng tuyển thủ khoa nên được cha mẹ thưởng cho một chiếc điện thoại mới. Khi đến cửa hàng điện thoại An được tư vấn nếu mua điện thoại kèm phụ kiện thì giá của phụ kiện sẽ được giảm giá 30% so với giá niêm yết ban đầu. Biết rằng tổng giá tiền điện thoại và phụ kiện ban đầu là \(11\,500\,000\) đồng và nhờ mua hai thứ nên cha mẹ An chỉ phải trả tổng số tiền là \(11\,050\,000\) đồng. Hãy tính giá của chiếc điện thoại mà An được thưởng là bao nhiêu tiền?

a) Chứng minh \(AONH\) là tứ giác nội tiếp.

Xét tứ giác AONH có :

\(\widehat {AHN} = \widehat {AON} = {90^0}\)

\( \Rightarrow \widehat {AHN} + \widehat {AON} = {180^0}\)

\( \Rightarrow \)Tứ giác AONH là tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh \(CO.CA = CN.CH.\)

Xét ∆CON và ∆CHA có :

\(\widehat {ACH}\) chung

c) Tính độ dài đường cao \(NI\) của tam giác \(NHO.\)

Kẻ \(NI \bot OH\) tại I

Xét \(\Delta OIN\) và \(\Delta AHN\) có :

\(\widehat {NOI} = \widehat {NAH}\)(cùng chắn )

\(\widehat {OIN} = \widehat {AHN} = {90^0}\)

Ta có : N là trung điểm của BC (gt)

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{AB \bot AC}\\{ON \bot AC}\end{array}} \right. \Rightarrow ON\parallel AB\)

⇒ O là trung điểm của AC

⇒ ON là đường trung bình của tam giác ABC.

\( \Rightarrow ON = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}.6 = 3(cm).\)

Xét tam giác ABC \(\left( {\widehat A = {{90}^0}} \right)\), đường cao AH có \(BC = 10cm\)

\( \Rightarrow BN = \frac{1}{2}BC = 5(cm)\)

\(\begin{array}{l}AN = \frac{1}{2}BC = 5(cm)\\BH = \frac{{A{B^2}}}{{BC}} = \frac{{{6^2}}}{{10}} = 3,6(cm)\end{array}\)

\( \Rightarrow HN = BN - BH = 5 - 3,6 = 1,4(cm)\)

Thay độ dài ON, HN, AN vào (*) ta có \(NI = \frac{{ON.HN}}{{AN}} = \frac{{3.1,4}}{5} = 0,84(cm).\)