Cho hàm số \(y = \frac{{a{x^2} + bx + c}}{{x + d}}\) có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Biết rằng điểm \(O\left( {0;0} \right)\) là điểm cực đại của đồ thị hàm số.

a) Phương trình đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là \(y = ax + b\left( d \right)\).

Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đi qua điểm \(\left( { - 1;0} \right)\) và \(\left( {0;1} \right)\).

Thay vào \(\left( d \right)\) ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - a + b = 0}\\{b = 1}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 1}\\{b = 1}\end{array}} \right.} \right.\).

Vậy tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là \(y = x + 1\). Nên a đúng.

b) Do đồ thị hàm số qua điểm \(O\left( {0;0} \right)\) nên thay vào hàm số ta được \(\frac{c}{d} = 0 \Rightarrow c = 0\).

Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là \(x = 1\)\( \Rightarrow d =  - 1\).

Khi đó \(y = f\left( x \right) = \frac{{a{x^2} + bx}}{{x - 1}} = ax + a + b + \frac{{a + b}}{{x - 1}}\).

Do tiệm cận xiên \(y = x + 1\) nên \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 1}\\{b = 0}\end{array}} \right.\).

Vậy \(y = f\left( x \right) = x + 1 + \frac{1}{{x - 1}}\)

\[ \Rightarrow y' = 1 - \frac{1}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = \frac{{{{\left( {x - 1} \right)}^2} - 1}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = 0 \Rightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{x = 2}\end{array}} \right.\]

Mà điểm \(O\left( {0;0} \right)\) là điểm cực đại của đồ thị hàm số.

Vì thế tọa độ điểm cực tiểu là \(T\left( {2;4} \right)\). Nên b đúng.

c) Trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\) đồ thị hàm số vừa đi lên, vừa đi xuống nên hàm số vừa đồng biến, vừa nghịch biến trên \(\left( {1; + \infty } \right)\). Nên c sai.

d) Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại \(A\left( {{x_A};{x_A} + 1 + \frac{1}{{{x_A} - 1}}} \right)\), \(B\left( {{x_B};{x_B} + 1 + \frac{1}{{{x_B} - 1}}} \right)\) (\({x_A} \ne {x_B}\)) thuộc đồ thị song song với nhau nên

\[{y'_{\left( A \right)}} = {y'_{\left( B \right)}} \Rightarrow 1 - \frac{1}{{{{\left( {{x_A} - 1} \right)}^2}}} = 1 - \frac{1}{{{{\left( {{x_B} - 1} \right)}^2}}}\]

\[ \Rightarrow {\left( {{x_A} - 1} \right)^2} = {\left( {{x_B} - 1} \right)^2}\]\[ \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_A} - 1 = {x_B} - 1}\\{{x_A} - 1 =  - \left( {{x_B} - 1} \right)}\end{array}} \right. \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_A} = {x_B}(loai)}\\{{x_A} + {x_B} = 2}\end{array}} \right.\].

Vậy: \[{x_A} + {x_B} = 2\], nên đặt \({x_A} = 1 - t,{x_B} = 1 + t\)

Vậy \(A\left( {1 - t;2 - t - \frac{1}{t}} \right)\), \(B\left( {1 + t;2 + t + \frac{1}{t}} \right)\).

\(\overrightarrow {AB}  = \left( {2t;2t + \frac{2}{t}} \right)\). Véc tơ pháp tuyến của đường thẳng \(AB\) là \(\overrightarrow n  = \left( {t + \frac{1}{t}; - t} \right)\) hay \(\overrightarrow {n'}  = \left( {1 + \frac{1}{{{t^2}}}; - 1} \right)\).

Đặt \(s = 1 + \frac{1}{{{t^2}}}\).

Trung điểm của \(AB\) là \(I\left( {1;2} \right)\)

Vậy phương trình đường thẳng \(AB\) đi qua \(I\left( {1;2} \right)\) và có véc tơ pháp tuyến \(\overrightarrow {n'}  = \left( {s; - 1} \right)\) là:

\(s\left( {x - 1} \right) - \left( {y - 2} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow s.x - y + 2 - s = 0\).

\(d\left( {M;AB} \right) = \frac{{\left| {4s - 1 + 2 - s} \right|}}{{\sqrt {{s^2} + {1^2}} }} = \frac{{\left| {3s + 1} \right|}}{{\sqrt {{s^2} + 1} }} = \frac{{3s + 1}}{{\sqrt {{s^2} + 1} }}\left( {do\,s > 0} \right)\).

Đặt \(g\left( s \right) = \frac{{3s + 1}}{{\sqrt {{s^2} + 1} }}\)\( \Rightarrow g'\left( s \right) = \frac{{3 - s}}{{\sqrt {{{\left( {{s^2} + 1} \right)}^3}} }} = 0 \Rightarrow s = 3\).

Hàm \(g\left( x \right)\) đạt giá trị lớn nhất tại \(s = 3\). Khi đó \(s = 1 + \frac{1}{{{t^2}}} = 3 \Rightarrow {t^2} = \frac{1}{2}\).

\[\overrightarrow {AB}  = \left( {2t;2t + \frac{2}{t}} \right)\]\[ \Rightarrow AB = \sqrt {{{\left( {2t} \right)}^2} + {{\left( {2t + \frac{2}{t}} \right)}^2}}  = \sqrt {8{t^2} + 8 + \frac{4}{{{t^2}}}} \]

Thay \({t^2} = \frac{1}{2}\) vào \[AB = \sqrt {8.\frac{1}{2} + 8 + \frac{4}{{\frac{1}{2}}}}  = \sqrt {20}  = 2\sqrt 5 \]. Vậy d đúng.