Một bể bơi hình bán nguyệt có đường kính là \(AB = 100\,{\rm{m}}\). Một người muốn bơi từ vị trí \(A\) đến vị trí \(C\) theo phương thẳng rồi lên bờ đi bộ từ \(C\) đến \(B\). Biết rằng vận tốc bơi là \(5\,{\rm{km/h}}\) và vận tốc đi bộ là \(6\,{\rm{km/h}}\). Hỏi thời gian tối đa để người đó hoàn thành lộ trình như trên là bao nhiêu phút? (Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Đáp án: 196.

Để từ \(M\) kẻ được \(2\) tiếp tuyến \(MA\), \(MB\) đến \(\left( C \right)\), suy ra \(OM > 1\).

Dễ thấy \(\widehat {AMO} = \widehat {BMO} = \frac{{\widehat {AMB}}}{2} \Rightarrow \widehat {AMB} \ge 60^\circ  \Leftrightarrow \widehat {AMO} \ge 30^\circ \).

Trong \(\Delta AMO\) vuông tại \(A\):

\(30^\circ  \le \widehat {AMO} < 90^\circ  \Rightarrow \sin 30^\circ  \le \sin AMO < \sin 90^\circ  \Leftrightarrow \frac{1}{2} \le \frac{{OA}}{{OM}} < 1 \Rightarrow 1 < OM \le 2\).

Do đó: \(1 < \sqrt {{x^2} + {y^2}}  \le 2 \Rightarrow 1 < {x^2} + {y^2} \le 4\). Do \(x,y \in \mathbb{Z}\) nên có hai trường hợp:

·       \({x^2} + {y^2} = 2\): Có \(4\) điểm \(\left( {x;y} \right) \in \left\{ {\left( {1;1} \right);\left( { - 1;1} \right);\left( {1; - 1} \right);\left( { - 1; - 1} \right)} \right\}\).

·       \({x^2} + {y^2} = 4\): Có \(4\) điểm \(\left( {x;y} \right) \in \left\{ {\left( {2;0} \right);\left( { - 2;0} \right);\left( {0;2} \right);\left( {0; - 2} \right)} \right\}\).

Vậy có \(8\) điểm \(M\) thỏa mãn hay số phần tử của \(T\) là \(8\).

Số cách chọn ngẫu nhiên \(2\) điểm trong \(T\): \(C_8^2 = 28\).

Để đường thẳng đi qua \(2\) điểm được chọn song song với trục \(Ox\) có \(2\) trường hợp thỏa mãn: \(\left( {1;1} \right)\) và \(\left( { - 1;1} \right)\); \(\left( {1; - 1} \right)\) và \(\left( { - 1; - 1} \right)\).

Vậy xác suất cần tìm: \(P = \frac{2}{{28}} = \frac{1}{{14}} \Rightarrow \frac{1}{a} = \frac{1}{{14}} \Rightarrow a = 14 \Rightarrow {a^2} = 196\).

Đáp án: \(1,45\).

Gọi \(I\) là trung điểm \(CD\).

Ta có \(\Delta ACD\) là tam giác đều nên \(AI \bot CD\), \(\Delta BCD\) là tam giác cân tại  \(B\) nên \(BI \bot CD\).

Do đó \(CD \bot \left( {ABI} \right)\).

Trong tam giác \(\Delta ABI\) kẻ \(IO\) vuông góc \(AB\).

Khi đó \(d\left( {AB,CD} \right) = IO\).

Xét \(\Delta ACD\) là tam giác đều cạnh \(2\sqrt 3 \) nên \(AI = 3\).

Xét \(\Delta BCI\) vuông tại \(I\) có \(BI = \sqrt {B{C^2} - C{I^2}}  = \sqrt {7 - 3}  = 2\).

Diện tích tam giác \({S_{\Delta ABI}} = \sqrt {p\left( {p - AB} \right)\left( {p - AI} \right)\left( {p - BI} \right)}  = \sqrt {\frac{9}{2}\left( {\frac{9}{2} - 4} \right)\left( {\frac{9}{2} - 3} \right)\left( {\frac{9}{2} - 2} \right)}  = \frac{{3\sqrt {15} }}{4}\)

Khi đó \({S_{\Delta ABI}} = \frac{1}{2}OI.AB \Leftrightarrow OI = \frac{{2{S_{\Delta ABI}}}}{{AB}} = \frac{{3\sqrt {15} }}{8}\).