Một bể bơi hình bán nguyệt có đường kính là \(AB = 100\,{\rm{m}}\). Một người muốn bơi từ vị trí \(A\) đến vị trí \(C\) theo phương thẳng rồi lên bờ đi bộ từ \(C\) đến \(B\). Biết rằng vận tốc bơi là \(5\,{\rm{km/h}}\) và vận tốc đi bộ là \(6\,{\rm{km/h}}\). Hỏi thời gian tối đa để người đó hoàn thành lộ trình như trên là bao nhiêu phút? (Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

a) Sai.

Ta có: \(\overrightarrow {A'M}  = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {A'B}  + \overrightarrow {A'C} } \right)\)\( = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {A'A}  + \overrightarrow {A'B'}  + \overrightarrow {A'A}  + \overrightarrow {A'C'} } \right) = \overrightarrow {A'A}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {A'B'}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {A'C'} \)\( = \frac{1}{2}.\overrightarrow {AB}  + \frac{1}{2}.\overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AA'} \). Suy ra \(x = y = \frac{1}{2};z =  - 1 \Rightarrow x + y =  - z\).

b) Đúng.

Ta có: \(\overrightarrow {BN}  = \frac{2}{3}\overrightarrow {BB'}  \Leftrightarrow \overrightarrow {BN}  = \frac{2}{3}\left( {\overrightarrow {BN}  + \overrightarrow {NB'} } \right) \Leftrightarrow \overrightarrow {BN}  = 2\overrightarrow {NB'}  \Leftrightarrow \overrightarrow {NB}  =  - 2\overrightarrow {NB'} \).

c) Đúng.

Ta có: \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {CC'}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BB'}  = \overrightarrow {AB'} \).

d) Đúng.

Ta có:\(\overrightarrow {C'N}  = \overrightarrow {C'B'}  + \overrightarrow {B'N}  = \overrightarrow {A'B'}  - \overrightarrow {A'C'}  + \frac{1}{3}\overrightarrow {B'B}  = \overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AC}  - \frac{1}{3}\overrightarrow {AA'} \)\( \Rightarrow \overrightarrow {A'M} .\overrightarrow {C'N}  = \left( {\frac{1}{2}.\overrightarrow {AB}  + \frac{1}{2}.\overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AA'} } \right).\left( {\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AC}  - \frac{1}{3}\overrightarrow {AA'} } \right)\)\( = \frac{1}{2}A{B^2} - \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  - \frac{1}{6}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AA'}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB}  - \frac{1}{2}A{C^2} - \frac{1}{6}\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AA'}  - \overrightarrow {AA'} .\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AA'} .\overrightarrow {AC}  + \frac{1}{3}A{A'^2}\)

\( = \frac{1}{2}A{B^2} - \frac{1}{2}A{C^2} + \frac{1}{3}A{A'^2} - \frac{7}{6}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AA'}  + \frac{5}{6}\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AA'} \)

\( =  = \frac{1}{2}{a^2} - \frac{1}{2}{a^2} + \frac{1}{3}{a^2} - \frac{7}{6}\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AA'} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AA'} } \right) + \frac{5}{6}\left| {\overrightarrow {AC} } \right|.\left| {\overrightarrow {AA'} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AA'} } \right)\)

\( = \frac{1}{3}{a^2} - \frac{7}{6}{a^2}.\cos \widehat {A'AB} + \frac{5}{6}{a^2}.\cos \widehat {A'AC} = \frac{1}{3}{a^2} - \frac{7}{6}{a^2}.\cos 120^\circ  + \frac{5}{6}{a^2}.\cos 60^\circ \)

\( = \frac{4}{3}{a^2}\).

Gọi \(I\) là điểm phát sáng; \(M\) là trung điểm của \(EF;N = SM \cap GH;K = OM \cap G'H'.\)

Ta có \(GH\) là đường trung bình của tam giác \(SEF\) nên

Gọi \(P,Q\) lần lượt là trung điểm của \(SO,OM.\) Theo đề bài ta có

\(SI = 1{\rm{m,}}IO = 2{\rm{m,}}SP = \frac{1}{2}SO = \frac{3}{2}{\rm{m}} \Rightarrow IP = \frac{1}{2};NP = OQ = 2{\rm{m}}\) (vì \(M\) là trung điểm của \(EF\) nên \(N\) là trung điểm của \(GH,SM)\)

Xét tam giác \(IOK\) có

Mà \(OM = 4\) nên \(M\) là trung điểm của \(OK\) và  nên \(EF\) là đường trung bình của tam giác \(OG'H' \Rightarrow G'H' = 2EF = 2(AB - AE - FB) = 8{\rm{ m}}{\rm{.}}\)

Do \(M\) là trung điểm của \(EF\), cũng là trung điểm của \(AB\) nên \(OM \bot EF.\) Suy ra \(MK\) là đường cao của hình thang \(EFG'H'\) và \(MK = OM = 4{\rm{ m}}{\rm{.}}\)

Vậy \({S_{EFG'H'}} = \frac{{EF + G'H'}}{2}.MK = \frac{{4 + 8}}{2}.4 = 24{\rm{ }}{{\rm{m}}^2}.\)

Cách khác

Gọi \(I\) là điểm phát sáng; \(M\) là trung điểm của \(EF\) cũng là trung điểm của \(AB({\rm{v\`i  }}AE = FB);J\) là trung điểm của \(BC\) (hình vẽ).

Chọn hệ trục tọa độ \(Oxyz\) sao cho tia \(OM \equiv Ox,ON \equiv Oy,OS \equiv Oz.\) Khi đó

\(O(0;0;0),M(4;0;0),J(0;4;0),S(0;0;3);A(4; - 4;0);B(4;4;0);E(4; - 2;0),F(4;2;0),I(0;0;2).\)

\(H\) là trung điểm \(SE \Rightarrow H\left( {2; - 1;\frac{3}{2}} \right)\); \(G\)là trung điểm của \(SF \Rightarrow G\left( {2;1;\frac{3}{2}} \right).\)

\({\rm{Mp}}(ABCD) \equiv Oxy:z = 0.\)

\(\overrightarrow {IH}  = \left( {2; - 1; - \frac{1}{2}} \right) = \frac{1}{2}(4; - 2; - 1) \Rightarrow IH:\left\{ \begin{array}{l}x = 4t\\y =  - 2t\\z = 2 - t\end{array} \right. \Rightarrow H' = IH \cap Oxy \Rightarrow H'(8; - 4;0)\)

\(\overrightarrow {IG}  = \left( {2;1; - \frac{1}{2}} \right) = \frac{1}{2}(4;2; - 1) \Rightarrow IG:\left\{ \begin{array}{l}x = 4t'\\y = 2t'\\z = 2 - t'\end{array} \right. \Rightarrow G = IG \cap Oxy \Rightarrow G(8;4;0)\)

\(\overrightarrow {EH'}  = (4; - 2;0),\overrightarrow {EG'}  = (4;6;0),\overrightarrow {EF}  = (0;4;0)\)

Vậy $S_{EF{G}^{\text{'}}{H}^{\text{'}}}=S_{\Delta EF{G}^{\text{'}}}+S_{\Delta E{G}^{\text{'}}{H}^{\text{'}}}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{EF}\times \overrightarrow{E{G}^{\text{'}}}+\overrightarrow{E{G}^{\text{'}}}\times \overrightarrow{E{H}^{\text{'}}}\right)=\frac{1}{2}(16+32)=24{\text{ m}}^2.$