Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy,\) cho đường tròn \(\left( C \right)\) tâm \(O\), bán kính bằng \(1\). Gọi \(T\) là tập hợp tất cả các điểm \(M\left( {x;y} \right)\), trong đó \(x,y \in \mathbb{Z}\), sao cho từ \(M\) kẻ được \(2\) tiếp tuyến \(MA\), \(MB\) đến \(\left( C \right)\) (\(A\), \(B\) là các tiếp điểm) thỏa mãn \(\widehat {AMB} \ge 60^\circ \). Chọn ngẫu nhiên \(2\) điểm trong \(T\). Biết xác suất để đường thẳng đi qua \(2\) điểm được chọn song song với trục \(Ox\) bằng \(\frac{1}{a}\). Tính \({a^2}\).

Đáp án: 1,65.

Đặt \(\widehat {CAB} = \varphi \left( {rad} \right)\), \(\,\,\varphi  \in \left( {0\,;\,\,\frac{\pi }{2}} \right)\).

Ta có \(\Delta ABC\) vuông tại \(C\) \( \Rightarrow AC = AB.\cos \varphi  = 0,1\cos \varphi \).

Mà \(\widehat {COR} = 2\widehat {CAB} = 2\varphi \).

Độ dài cung tròn .

Tổng thời gian người này di chuyển từ \(A\) đến \(C\) và đến B là:  với \(\,\,\varphi  \in \left( {0\,;\,\,\frac{\pi }{2}} \right)\).

\( \Rightarrow t'\left( \varphi  \right) =  - \frac{1}{{50}}\sin \varphi  + \frac{1}{{60}} = 0 \Leftrightarrow \sin \varphi  = \frac{5}{6} \Rightarrow \varphi  \approx 0,985\) rad.

Bảng biến thiên

Vậy thời gian tối đa để di chuyển từ \(A\) đến \(C\)và đến B là \(t\left( {0,985} \right) = 0,027\)(giờ)\( \simeq 1,65\)phút.

a) Sai.

Ta có: \(\overrightarrow {A'M}  = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {A'B}  + \overrightarrow {A'C} } \right)\)\( = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {A'A}  + \overrightarrow {A'B'}  + \overrightarrow {A'A}  + \overrightarrow {A'C'} } \right) = \overrightarrow {A'A}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {A'B'}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {A'C'} \)\( = \frac{1}{2}.\overrightarrow {AB}  + \frac{1}{2}.\overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AA'} \). Suy ra \(x = y = \frac{1}{2};z =  - 1 \Rightarrow x + y =  - z\).

b) Đúng.

Ta có: \(\overrightarrow {BN}  = \frac{2}{3}\overrightarrow {BB'}  \Leftrightarrow \overrightarrow {BN}  = \frac{2}{3}\left( {\overrightarrow {BN}  + \overrightarrow {NB'} } \right) \Leftrightarrow \overrightarrow {BN}  = 2\overrightarrow {NB'}  \Leftrightarrow \overrightarrow {NB}  =  - 2\overrightarrow {NB'} \).

c) Đúng.

Ta có: \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {CC'}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BB'}  = \overrightarrow {AB'} \).

d) Đúng.

Ta có:\(\overrightarrow {C'N}  = \overrightarrow {C'B'}  + \overrightarrow {B'N}  = \overrightarrow {A'B'}  - \overrightarrow {A'C'}  + \frac{1}{3}\overrightarrow {B'B}  = \overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AC}  - \frac{1}{3}\overrightarrow {AA'} \)\( \Rightarrow \overrightarrow {A'M} .\overrightarrow {C'N}  = \left( {\frac{1}{2}.\overrightarrow {AB}  + \frac{1}{2}.\overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AA'} } \right).\left( {\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AC}  - \frac{1}{3}\overrightarrow {AA'} } \right)\)\( = \frac{1}{2}A{B^2} - \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  - \frac{1}{6}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AA'}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB}  - \frac{1}{2}A{C^2} - \frac{1}{6}\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AA'}  - \overrightarrow {AA'} .\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AA'} .\overrightarrow {AC}  + \frac{1}{3}A{A'^2}\)

\( = \frac{1}{2}A{B^2} - \frac{1}{2}A{C^2} + \frac{1}{3}A{A'^2} - \frac{7}{6}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AA'}  + \frac{5}{6}\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AA'} \)

\( =  = \frac{1}{2}{a^2} - \frac{1}{2}{a^2} + \frac{1}{3}{a^2} - \frac{7}{6}\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AA'} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AA'} } \right) + \frac{5}{6}\left| {\overrightarrow {AC} } \right|.\left| {\overrightarrow {AA'} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AA'} } \right)\)

\( = \frac{1}{3}{a^2} - \frac{7}{6}{a^2}.\cos \widehat {A'AB} + \frac{5}{6}{a^2}.\cos \widehat {A'AC} = \frac{1}{3}{a^2} - \frac{7}{6}{a^2}.\cos 120^\circ  + \frac{5}{6}{a^2}.\cos 60^\circ \)

\( = \frac{4}{3}{a^2}\).