Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy,\) cho đường tròn \(\left( C \right)\) tâm \(O\), bán kính bằng \(1\). Gọi \(T\) là tập hợp tất cả các điểm \(M\left( {x;y} \right)\), trong đó \(x,y \in \mathbb{Z}\), sao cho từ \(M\) kẻ được \(2\) tiếp tuyến \(MA\), \(MB\) đến \(\left( C \right)\) (\(A\), \(B\) là các tiếp điểm) thỏa mãn \(\widehat {AMB} \ge 60^\circ \). Chọn ngẫu nhiên \(2\) điểm trong \(T\). Biết xác suất để đường thẳng đi qua \(2\) điểm được chọn song song với trục \(Ox\) bằng \(\frac{1}{a}\). Tính \({a^2}\).

a) Sai.

Ta có: \(\overrightarrow {A'M}  = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {A'B}  + \overrightarrow {A'C} } \right)\)\( = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {A'A}  + \overrightarrow {A'B'}  + \overrightarrow {A'A}  + \overrightarrow {A'C'} } \right) = \overrightarrow {A'A}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {A'B'}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {A'C'} \)\( = \frac{1}{2}.\overrightarrow {AB}  + \frac{1}{2}.\overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AA'} \). Suy ra \(x = y = \frac{1}{2};z =  - 1 \Rightarrow x + y =  - z\).

b) Đúng.

Ta có: \(\overrightarrow {BN}  = \frac{2}{3}\overrightarrow {BB'}  \Leftrightarrow \overrightarrow {BN}  = \frac{2}{3}\left( {\overrightarrow {BN}  + \overrightarrow {NB'} } \right) \Leftrightarrow \overrightarrow {BN}  = 2\overrightarrow {NB'}  \Leftrightarrow \overrightarrow {NB}  =  - 2\overrightarrow {NB'} \).

c) Đúng.

Ta có: \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {CC'}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BB'}  = \overrightarrow {AB'} \).

d) Đúng.

Ta có:\(\overrightarrow {C'N}  = \overrightarrow {C'B'}  + \overrightarrow {B'N}  = \overrightarrow {A'B'}  - \overrightarrow {A'C'}  + \frac{1}{3}\overrightarrow {B'B}  = \overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AC}  - \frac{1}{3}\overrightarrow {AA'} \)\( \Rightarrow \overrightarrow {A'M} .\overrightarrow {C'N}  = \left( {\frac{1}{2}.\overrightarrow {AB}  + \frac{1}{2}.\overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AA'} } \right).\left( {\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AC}  - \frac{1}{3}\overrightarrow {AA'} } \right)\)\( = \frac{1}{2}A{B^2} - \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  - \frac{1}{6}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AA'}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB}  - \frac{1}{2}A{C^2} - \frac{1}{6}\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AA'}  - \overrightarrow {AA'} .\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AA'} .\overrightarrow {AC}  + \frac{1}{3}A{A'^2}\)

\( = \frac{1}{2}A{B^2} - \frac{1}{2}A{C^2} + \frac{1}{3}A{A'^2} - \frac{7}{6}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AA'}  + \frac{5}{6}\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AA'} \)

\( =  = \frac{1}{2}{a^2} - \frac{1}{2}{a^2} + \frac{1}{3}{a^2} - \frac{7}{6}\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AA'} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AA'} } \right) + \frac{5}{6}\left| {\overrightarrow {AC} } \right|.\left| {\overrightarrow {AA'} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AA'} } \right)\)

\( = \frac{1}{3}{a^2} - \frac{7}{6}{a^2}.\cos \widehat {A'AB} + \frac{5}{6}{a^2}.\cos \widehat {A'AC} = \frac{1}{3}{a^2} - \frac{7}{6}{a^2}.\cos 120^\circ  + \frac{5}{6}{a^2}.\cos 60^\circ \)

\( = \frac{4}{3}{a^2}\).

Gọi \(I\) là điểm phát sáng; \(M\) là trung điểm của \(EF;N = SM \cap GH;K = OM \cap G'H'.\)

Ta có \(GH\) là đường trung bình của tam giác \(SEF\) nên

Gọi \(P,Q\) lần lượt là trung điểm của \(SO,OM.\) Theo đề bài ta có

\(SI = 1{\rm{m,}}IO = 2{\rm{m,}}SP = \frac{1}{2}SO = \frac{3}{2}{\rm{m}} \Rightarrow IP = \frac{1}{2};NP = OQ = 2{\rm{m}}\) (vì \(M\) là trung điểm của \(EF\) nên \(N\) là trung điểm của \(GH,SM)\)

Xét tam giác \(IOK\) có

Mà \(OM = 4\) nên \(M\) là trung điểm của \(OK\) và  nên \(EF\) là đường trung bình của tam giác \(OG'H' \Rightarrow G'H' = 2EF = 2(AB - AE - FB) = 8{\rm{ m}}{\rm{.}}\)

Do \(M\) là trung điểm của \(EF\), cũng là trung điểm của \(AB\) nên \(OM \bot EF.\) Suy ra \(MK\) là đường cao của hình thang \(EFG'H'\) và \(MK = OM = 4{\rm{ m}}{\rm{.}}\)

Vậy \({S_{EFG'H'}} = \frac{{EF + G'H'}}{2}.MK = \frac{{4 + 8}}{2}.4 = 24{\rm{ }}{{\rm{m}}^2}.\)

Cách khác

Gọi \(I\) là điểm phát sáng; \(M\) là trung điểm của \(EF\) cũng là trung điểm của \(AB({\rm{v\`i  }}AE = FB);J\) là trung điểm của \(BC\) (hình vẽ).

Chọn hệ trục tọa độ \(Oxyz\) sao cho tia \(OM \equiv Ox,ON \equiv Oy,OS \equiv Oz.\) Khi đó

\(O(0;0;0),M(4;0;0),J(0;4;0),S(0;0;3);A(4; - 4;0);B(4;4;0);E(4; - 2;0),F(4;2;0),I(0;0;2).\)

\(H\) là trung điểm \(SE \Rightarrow H\left( {2; - 1;\frac{3}{2}} \right)\); \(G\)là trung điểm của \(SF \Rightarrow G\left( {2;1;\frac{3}{2}} \right).\)

\({\rm{Mp}}(ABCD) \equiv Oxy:z = 0.\)

\(\overrightarrow {IH}  = \left( {2; - 1; - \frac{1}{2}} \right) = \frac{1}{2}(4; - 2; - 1) \Rightarrow IH:\left\{ \begin{array}{l}x = 4t\\y =  - 2t\\z = 2 - t\end{array} \right. \Rightarrow H' = IH \cap Oxy \Rightarrow H'(8; - 4;0)\)

\(\overrightarrow {IG}  = \left( {2;1; - \frac{1}{2}} \right) = \frac{1}{2}(4;2; - 1) \Rightarrow IG:\left\{ \begin{array}{l}x = 4t'\\y = 2t'\\z = 2 - t'\end{array} \right. \Rightarrow G = IG \cap Oxy \Rightarrow G(8;4;0)\)

\(\overrightarrow {EH'}  = (4; - 2;0),\overrightarrow {EG'}  = (4;6;0),\overrightarrow {EF}  = (0;4;0)\)

Vậy $S_{EF{G}^{\text{'}}{H}^{\text{'}}}=S_{\Delta EF{G}^{\text{'}}}+S_{\Delta E{G}^{\text{'}}{H}^{\text{'}}}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{EF}\times \overrightarrow{E{G}^{\text{'}}}+\overrightarrow{E{G}^{\text{'}}}\times \overrightarrow{E{H}^{\text{'}}}\right)=\frac{1}{2}(16+32)=24{\text{ m}}^2.$