Một cái lều có dạng hình chóp tứ giác đều, cạnh đáy bằng \(8{\rm{ m}}\) và chiều cao là \(3{\rm{ m}}{\rm{.}}\) Cửa vào lều là hình thang \(EFGH\) trong đó \(AE = FB\) và \(EF = 4{\rm{ m}}{\rm{.}}\) Gọi \(G,H\) lần lượt là trung điểm của \(SE\) và \(SF.\) Một nguồn sáng đặt cách đỉnh \(S\) một mét ở phía dưới. Ánh sáng chiếu ra ngoài qua cửa tạo thành một vùng được chiếu sáng \(EFG'H'.\) Diện tích vùng được chiếu sáng là bao nhiêu \({{\rm{m}}^2}\) (Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

Đáp án: 196.

Để từ \(M\) kẻ được \(2\) tiếp tuyến \(MA\), \(MB\) đến \(\left( C \right)\), suy ra \(OM > 1\).

Dễ thấy \(\widehat {AMO} = \widehat {BMO} = \frac{{\widehat {AMB}}}{2} \Rightarrow \widehat {AMB} \ge 60^\circ  \Leftrightarrow \widehat {AMO} \ge 30^\circ \).

Trong \(\Delta AMO\) vuông tại \(A\):

\(30^\circ  \le \widehat {AMO} < 90^\circ  \Rightarrow \sin 30^\circ  \le \sin AMO < \sin 90^\circ  \Leftrightarrow \frac{1}{2} \le \frac{{OA}}{{OM}} < 1 \Rightarrow 1 < OM \le 2\).

Do đó: \(1 < \sqrt {{x^2} + {y^2}}  \le 2 \Rightarrow 1 < {x^2} + {y^2} \le 4\). Do \(x,y \in \mathbb{Z}\) nên có hai trường hợp:

·       \({x^2} + {y^2} = 2\): Có \(4\) điểm \(\left( {x;y} \right) \in \left\{ {\left( {1;1} \right);\left( { - 1;1} \right);\left( {1; - 1} \right);\left( { - 1; - 1} \right)} \right\}\).

·       \({x^2} + {y^2} = 4\): Có \(4\) điểm \(\left( {x;y} \right) \in \left\{ {\left( {2;0} \right);\left( { - 2;0} \right);\left( {0;2} \right);\left( {0; - 2} \right)} \right\}\).

Vậy có \(8\) điểm \(M\) thỏa mãn hay số phần tử của \(T\) là \(8\).

Số cách chọn ngẫu nhiên \(2\) điểm trong \(T\): \(C_8^2 = 28\).

Để đường thẳng đi qua \(2\) điểm được chọn song song với trục \(Ox\) có \(2\) trường hợp thỏa mãn: \(\left( {1;1} \right)\) và \(\left( { - 1;1} \right)\); \(\left( {1; - 1} \right)\) và \(\left( { - 1; - 1} \right)\).

Vậy xác suất cần tìm: \(P = \frac{2}{{28}} = \frac{1}{{14}} \Rightarrow \frac{1}{a} = \frac{1}{{14}} \Rightarrow a = 14 \Rightarrow {a^2} = 196\).

Đáp án: \(1,45\).

Gọi \(I\) là trung điểm \(CD\).

Ta có \(\Delta ACD\) là tam giác đều nên \(AI \bot CD\), \(\Delta BCD\) là tam giác cân tại  \(B\) nên \(BI \bot CD\).

Do đó \(CD \bot \left( {ABI} \right)\).

Trong tam giác \(\Delta ABI\) kẻ \(IO\) vuông góc \(AB\).

Khi đó \(d\left( {AB,CD} \right) = IO\).

Xét \(\Delta ACD\) là tam giác đều cạnh \(2\sqrt 3 \) nên \(AI = 3\).

Xét \(\Delta BCI\) vuông tại \(I\) có \(BI = \sqrt {B{C^2} - C{I^2}}  = \sqrt {7 - 3}  = 2\).

Diện tích tam giác \({S_{\Delta ABI}} = \sqrt {p\left( {p - AB} \right)\left( {p - AI} \right)\left( {p - BI} \right)}  = \sqrt {\frac{9}{2}\left( {\frac{9}{2} - 4} \right)\left( {\frac{9}{2} - 3} \right)\left( {\frac{9}{2} - 2} \right)}  = \frac{{3\sqrt {15} }}{4}\)

Khi đó \({S_{\Delta ABI}} = \frac{1}{2}OI.AB \Leftrightarrow OI = \frac{{2{S_{\Delta ABI}}}}{{AB}} = \frac{{3\sqrt {15} }}{8}\).