Cho hình lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) có tất cả các cạnh bằng \(a\), \(\widehat {A'AB} = {120^{\rm{o}}},\,\widehat {A'AC} = {60^{\rm{o}}}\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\); \(N\) là điểm thỏa mãn \(\overrightarrow {BN} = \frac{2}{3}\overrightarrow {BB'} \).

Đáp án: 1,65.

Đặt \(\widehat {CAB} = \varphi \left( {rad} \right)\), \(\,\,\varphi  \in \left( {0\,;\,\,\frac{\pi }{2}} \right)\).

Ta có \(\Delta ABC\) vuông tại \(C\) \( \Rightarrow AC = AB.\cos \varphi  = 0,1\cos \varphi \).

Mà \(\widehat {COR} = 2\widehat {CAB} = 2\varphi \).

Độ dài cung tròn .

Tổng thời gian người này di chuyển từ \(A\) đến \(C\) và đến B là:  với \(\,\,\varphi  \in \left( {0\,;\,\,\frac{\pi }{2}} \right)\).

\( \Rightarrow t'\left( \varphi  \right) =  - \frac{1}{{50}}\sin \varphi  + \frac{1}{{60}} = 0 \Leftrightarrow \sin \varphi  = \frac{5}{6} \Rightarrow \varphi  \approx 0,985\) rad.

Bảng biến thiên

Vậy thời gian tối đa để di chuyển từ \(A\) đến \(C\)và đến B là \(t\left( {0,985} \right) = 0,027\)(giờ)\( \simeq 1,65\)phút.

Gọi \(I\) là điểm phát sáng; \(M\) là trung điểm của \(EF;N = SM \cap GH;K = OM \cap G'H'.\)

Ta có \(GH\) là đường trung bình của tam giác \(SEF\) nên

Gọi \(P,Q\) lần lượt là trung điểm của \(SO,OM.\) Theo đề bài ta có

\(SI = 1{\rm{m,}}IO = 2{\rm{m,}}SP = \frac{1}{2}SO = \frac{3}{2}{\rm{m}} \Rightarrow IP = \frac{1}{2};NP = OQ = 2{\rm{m}}\) (vì \(M\) là trung điểm của \(EF\) nên \(N\) là trung điểm của \(GH,SM)\)

Xét tam giác \(IOK\) có

Mà \(OM = 4\) nên \(M\) là trung điểm của \(OK\) và  nên \(EF\) là đường trung bình của tam giác \(OG'H' \Rightarrow G'H' = 2EF = 2(AB - AE - FB) = 8{\rm{ m}}{\rm{.}}\)

Do \(M\) là trung điểm của \(EF\), cũng là trung điểm của \(AB\) nên \(OM \bot EF.\) Suy ra \(MK\) là đường cao của hình thang \(EFG'H'\) và \(MK = OM = 4{\rm{ m}}{\rm{.}}\)

Vậy \({S_{EFG'H'}} = \frac{{EF + G'H'}}{2}.MK = \frac{{4 + 8}}{2}.4 = 24{\rm{ }}{{\rm{m}}^2}.\)

Cách khác

Gọi \(I\) là điểm phát sáng; \(M\) là trung điểm của \(EF\) cũng là trung điểm của \(AB({\rm{v\`i  }}AE = FB);J\) là trung điểm của \(BC\) (hình vẽ).

Chọn hệ trục tọa độ \(Oxyz\) sao cho tia \(OM \equiv Ox,ON \equiv Oy,OS \equiv Oz.\) Khi đó

\(O(0;0;0),M(4;0;0),J(0;4;0),S(0;0;3);A(4; - 4;0);B(4;4;0);E(4; - 2;0),F(4;2;0),I(0;0;2).\)

\(H\) là trung điểm \(SE \Rightarrow H\left( {2; - 1;\frac{3}{2}} \right)\); \(G\)là trung điểm của \(SF \Rightarrow G\left( {2;1;\frac{3}{2}} \right).\)

\({\rm{Mp}}(ABCD) \equiv Oxy:z = 0.\)

\(\overrightarrow {IH}  = \left( {2; - 1; - \frac{1}{2}} \right) = \frac{1}{2}(4; - 2; - 1) \Rightarrow IH:\left\{ \begin{array}{l}x = 4t\\y =  - 2t\\z = 2 - t\end{array} \right. \Rightarrow H' = IH \cap Oxy \Rightarrow H'(8; - 4;0)\)

\(\overrightarrow {IG}  = \left( {2;1; - \frac{1}{2}} \right) = \frac{1}{2}(4;2; - 1) \Rightarrow IG:\left\{ \begin{array}{l}x = 4t'\\y = 2t'\\z = 2 - t'\end{array} \right. \Rightarrow G = IG \cap Oxy \Rightarrow G(8;4;0)\)

\(\overrightarrow {EH'}  = (4; - 2;0),\overrightarrow {EG'}  = (4;6;0),\overrightarrow {EF}  = (0;4;0)\)

Vậy $S_{EF{G}^{\text{'}}{H}^{\text{'}}}=S_{\Delta EF{G}^{\text{'}}}+S_{\Delta E{G}^{\text{'}}{H}^{\text{'}}}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{EF}\times \overrightarrow{E{G}^{\text{'}}}+\overrightarrow{E{G}^{\text{'}}}\times \overrightarrow{E{H}^{\text{'}}}\right)=\frac{1}{2}(16+32)=24{\text{ m}}^2.$