Trong mặt phẳng tọa độ \[Oxy,\] cho parabol \(\left( P \right):y = 2{x^2}\) và đường thẳng \(\left( d \right):y = x + m\) (với \(m\) là tham số).

a) Tìm \(m\) để \(\left( d \right)\) đi qua điểm \(A\left( {2;8} \right)\).

b) Tìm \(m\) để \(\left( d \right)\) cắt \(\left( P \right)\)tại hai điểm phân biệt có hoành độ \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn \({x_1} + {x_2} - 3{x_1}{x_2} = 5\).

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho ba số dương ta có:

\[P = \frac{{x{y^3}}}{{\frac{{{y^3}}}{2} + \frac{{{y^3}}}{2} + 4}} + \frac{{y{z^3}}}{{\frac{{{z^3}}}{2} + \frac{{{z^3}}}{2} + 4}} + \frac{{z{x^3}}}{{\frac{{{x^3}}}{2} + \frac{{{x^3}}}{2} + 4}}\]

\[P \le \frac{{x{y^3}}}{{3.\sqrt[3]{{\frac{{{y^3}}}{2}.\frac{{{y^3}}}{2}.4}}}} + \frac{{y{z^3}}}{{3.\sqrt[3]{{\frac{{{z^3}}}{2}.\frac{{{z^3}}}{2}.4}}}} + \frac{{z{x^3}}}{{3.\sqrt[3]{{\frac{{{x^3}}}{2}.\frac{{{x^3}}}{2}.4}}}} = \frac{{x{y^3}}}{{3{y^2}}} + \frac{{y{z^3}}}{{3{z^2}}} + \frac{{z{x^3}}}{{3{x^2}}}\]

\[P \le \frac{{xy + yz + zx}}{3}\]

Lại có \[{\left( {x - y} \right)^2} + {\left( {y - z} \right)^2} + {\left( {z - x} \right)^2} \ge 0{\rm{ }}\forall x,y,z\]

\[ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} \ge xy + yz + zx\]

\[ \Leftrightarrow {\left( {x + y + z} \right)^2} \ge 3\left( {xy + yz + zx} \right)\]

\[ \Leftrightarrow xy + yz + zx \le \frac{{\left( {x + y + z} \right)}}{3} = \frac{{{6^2}}}{3} = 12\]

\[ \Rightarrow P \le \frac{{12}}{3} = 4\]

Dấu “=” xảy ra khi \[\left\{ \begin{array}{l}x = y = z\\x + y + z = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow x = y = z = 2\]

Vậy \[MaxP = 4 \Leftrightarrow x = y = z = 2\]

a)  Theo bài ra \(Q = \frac{{\sqrt x }}{{x + 4}}\) với \(x \ge 0;x \ne 1\)

Thay \(x = 4\)(thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức A ta có: \(Q = \frac{{\sqrt 4 }}{{4 + 4}} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}\).

b) Với \(x \ge 0;x \ne 1\) ta có:

\(P = \left( {\frac{{x - 6\sqrt x  + 1}}{{x - 1}} - \frac{{\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x  + 1}}} \right):\frac{{x + 4}}{{1 - x}}\)

\(P = \left[ {\frac{{x - 6\sqrt x  + 1}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}} - \frac{{\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x  + 1}}} \right]:\frac{{x + 4}}{{1 - x}}\)

\(p = \frac{{x - 6\sqrt x  + 1 - {{\left( {\sqrt x  - 1} \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}.\frac{{1 - x}}{{x + 4}}\)

\(P = \frac{{x - 6\sqrt x  + 1 - x + 2\sqrt x  - 1}}{{x - 1}}.\frac{{1 - x}}{{x + 4}}\)

\(P = \frac{{ - 4\sqrt x }}{{x - 1}}.\frac{{ - \left( {x - 1} \right)}}{{x + 4}}\)

\(P = \frac{{4\sqrt x }}{{x + 4}}\)

\(P = 4.\frac{{\sqrt x }}{{x + 4}} = 4.Q\)

Vậy \(P = 4Q\)với \(x \ge 0;x \ne 1\).

c) Ta có \(P = \frac{{4\sqrt x }}{{x + 4}}\) với \(x \ge 0;x \ne 1\)

Với \(x \ge 0;x \ne 1\) ta có \(4\sqrt x  \ge 0;x + 4 > 0\)\( \Rightarrow P = \frac{{4\sqrt x }}{{x + 4}} \ge 0\left( 1 \right)\)

Ta cũng có: \(P = \frac{{x + 4 - \left( {x - 4\sqrt x  + 4} \right)}}{{x + 4}} = 1 - \frac{{{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)}^2}}}{{x + 4}} \le 1\)với \(x \ge 0;x \ne 1\)

Do đó \(P = \frac{{4\sqrt x }}{{x + 4}} \le 1\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right)\)và \(\left( 2 \right)\)\( \Rightarrow 0 \le P \le 1\). Mà \(P\) nhận giá trị là số nguyên nên \(P \in \left\{ {0;1} \right\}\).

+ Với \(P = 0\)\( \Leftrightarrow \frac{{4\sqrt x }}{{x + 4}} = 0 \Leftrightarrow \sqrt x  = 0 \Leftrightarrow x = 0\) (thỏa mãn)

+ Với \(P = 1\)\( \Leftrightarrow \frac{{4\sqrt x }}{{x + 4}} = 1 \Leftrightarrow x + 4 = 4\sqrt x  \Leftrightarrow x + 4 - 4\sqrt x  = 0 \Leftrightarrow {\left( {\sqrt x  - 2} \right)^2} = 0\)

\( \Leftrightarrow \sqrt x  - 2 = 0 \Leftrightarrow x = 4\) (thỏa mãn).

Vậy \(x \in \left\{ {0;4} \right\}\) thì \(P\) nhận giá trị là số nguyên