Cho các số thực dương \(x,y,z\) thỏa mãn \(x + y + z = 6.\) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

\(P = \frac{{x{y^3}}}{{{y^3} + 4}} + \frac{{y{z^3}}}{{{z^3} + 4}} + \frac{{z{x^3}}}{{{x^3} + 4}}\)

a)  Theo bài ra \(Q = \frac{{\sqrt x }}{{x + 4}}\) với \(x \ge 0;x \ne 1\)

Thay \(x = 4\)(thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức A ta có: \(Q = \frac{{\sqrt 4 }}{{4 + 4}} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}\).

b) Với \(x \ge 0;x \ne 1\) ta có:

\(P = \left( {\frac{{x - 6\sqrt x  + 1}}{{x - 1}} - \frac{{\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x  + 1}}} \right):\frac{{x + 4}}{{1 - x}}\)

\(P = \left[ {\frac{{x - 6\sqrt x  + 1}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}} - \frac{{\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x  + 1}}} \right]:\frac{{x + 4}}{{1 - x}}\)

\(p = \frac{{x - 6\sqrt x  + 1 - {{\left( {\sqrt x  - 1} \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}.\frac{{1 - x}}{{x + 4}}\)

\(P = \frac{{x - 6\sqrt x  + 1 - x + 2\sqrt x  - 1}}{{x - 1}}.\frac{{1 - x}}{{x + 4}}\)

\(P = \frac{{ - 4\sqrt x }}{{x - 1}}.\frac{{ - \left( {x - 1} \right)}}{{x + 4}}\)

\(P = \frac{{4\sqrt x }}{{x + 4}}\)

\(P = 4.\frac{{\sqrt x }}{{x + 4}} = 4.Q\)

Vậy \(P = 4Q\)với \(x \ge 0;x \ne 1\).

c) Ta có \(P = \frac{{4\sqrt x }}{{x + 4}}\) với \(x \ge 0;x \ne 1\)

Với \(x \ge 0;x \ne 1\) ta có \(4\sqrt x  \ge 0;x + 4 > 0\)\( \Rightarrow P = \frac{{4\sqrt x }}{{x + 4}} \ge 0\left( 1 \right)\)

Ta cũng có: \(P = \frac{{x + 4 - \left( {x - 4\sqrt x  + 4} \right)}}{{x + 4}} = 1 - \frac{{{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)}^2}}}{{x + 4}} \le 1\)với \(x \ge 0;x \ne 1\)

Do đó \(P = \frac{{4\sqrt x }}{{x + 4}} \le 1\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right)\)và \(\left( 2 \right)\)\( \Rightarrow 0 \le P \le 1\). Mà \(P\) nhận giá trị là số nguyên nên \(P \in \left\{ {0;1} \right\}\).

+ Với \(P = 0\)\( \Leftrightarrow \frac{{4\sqrt x }}{{x + 4}} = 0 \Leftrightarrow \sqrt x  = 0 \Leftrightarrow x = 0\) (thỏa mãn)

+ Với \(P = 1\)\( \Leftrightarrow \frac{{4\sqrt x }}{{x + 4}} = 1 \Leftrightarrow x + 4 = 4\sqrt x  \Leftrightarrow x + 4 - 4\sqrt x  = 0 \Leftrightarrow {\left( {\sqrt x  - 2} \right)^2} = 0\)

\( \Leftrightarrow \sqrt x  - 2 = 0 \Leftrightarrow x = 4\) (thỏa mãn).

Vậy \(x \in \left\{ {0;4} \right\}\) thì \(P\) nhận giá trị là số nguyên

a) Với \(m = 2\) hệ phương trình đã cho có dạng:

\[\left\{ \begin{array}{l}2x + y = 3\\ - x + y = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x = 1\\ - x + y = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{1}{3}\\ - \frac{1}{3} + y = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{1}{3}\\y = \frac{7}{3}\end{array} \right.\]

Vậy với \(m = 2\)hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất \[\left( {x;y} \right) = \left( {\frac{1}{3};\frac{7}{3}} \right)\].

 b) Xét hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}mx + y = 3{\rm{ }}\left( 1 \right)\\ - x + y = 2{\rm{ }}\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Từ \(\left( 2 \right)\) ta có \(y = x + 2{\rm{ }}\left( 3 \right)\).

Thay \(\left( 3 \right)\)vào \(\left( 1 \right)\)ta được: \(mx + x + 2 = 3 \Leftrightarrow \left( {m + 1} \right)x = 1{\rm{ }}\left( 4 \right)\)

 Hệ phương trình có nghiệm duy nhất khi phương trình \(\left( 4 \right)\) có nghiệm duy nhất \( \Leftrightarrow m + 1 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne  - 1\)

 Với \(m \ne  - 1\) phương trình \(\left( 4 \right)\) có 1 nghiệm \(x = \frac{1}{{m + 1}}\).

Từ \(\left( 2 \right)\) ta có \(y = \frac{1}{{m + 1}} + 2 = \frac{{2m + 3}}{{m + 1}}\).

Với \(m \ne  - 1\) hệ phương trình có nghiệm duy nhất \(\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{1}{{m + 1}}\\y = \frac{{2m + 3}}{{m + 1}}\end{array} \right.\)

Theo bài ra \({x^2} + {y^2} = 10\)\[ \Leftrightarrow {\left( {\frac{1}{{m + 1}}} \right)^2} + {\left( {\frac{{2m + 3}}{{m + 1}}} \right)^2} = 10\]

 \[ \Leftrightarrow 1 + {\left( {2m + 3} \right)^2} = 10{\left( {m + 1} \right)^2}\]

\[ \Leftrightarrow 1 + 4{m^2} + 12m + 9 = 10{m^2} + 20m + 10\]

 \[ \Leftrightarrow 6{m^2} + 8m = 0\]

\[ \Leftrightarrow 2m\left( {3m + 4} \right) = 0\]

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\\m = \frac{{ - 4}}{3}\end{array} \right.\] (thỏa mãn).

Vậy \[m \in \left\{ {\frac{{ - 4}}{3};0} \right\}\]thỏa mãn đề bài