Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho hai điểm \(A\left( { - 1;\,1} \right),\,B\left( {0;\,\,2} \right)\). Viết phương trình đường thẳng \(d\) sao cho khoảng cách từ điểm \(A\) tới \(d\) bằng \(\sqrt 8 \), khoảng cách từ điểm \(B\) tới \(d\) bằng \(\sqrt 2 \).

Giả sử đường thẳng \(d\) có dạng: \(y = ax + b\,\,\,\,{\rm{hay}}\,\,\,d:ax - y + b = 0\).

Ta có: \(d\left( {A,\,\,d} \right) = \frac{{\left| {a.\left( { - 1} \right) - 1 + b} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{{\left| { - a + b - 1} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + 1} }} = \sqrt 8 \). Suy ra \(\frac{{\left| { - a + b - 1} \right|}}{{\sqrt 8 }} = \sqrt {{a^2} + 1} \).

Lại có: \(d\left( {B,\,\,d} \right) = \frac{{\left| {a.0 - 2 + b} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{{\left| {b - 2} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + 1} }} = \sqrt 2 \). Suy ra \(\frac{{\left| {b - 2} \right|}}{{\sqrt 2 }} = \sqrt {{a^2} + 1} \) (*).

Do đó, \(\frac{{\left| { - a + b - 1} \right|}}{{\sqrt 8 }} = \frac{{\left| {b - 2} \right|}}{{\sqrt 2 }}\)\( \Leftrightarrow \sqrt 2 \left| { - a + b - 1} \right| = \sqrt 8 \left| {b - 2} \right|\)

\( \Leftrightarrow \sqrt 2 \left| { - a + b - 1} \right| = 2\sqrt 2 \left| {b - 2} \right|\)

\( \Leftrightarrow \left| { - a + b - 1} \right| = 2\left| {b - 2} \right|\)

Trường hợp 1: \( - a + b - 1 = 2\left( {b - 2} \right) \Leftrightarrow a + b - 3 = 0\)\( \Leftrightarrow a = 3 - b\).

Thay \(a = 3 - b\) vào (*) ta được: \(\frac{{\left| {b - 2} \right|}}{{\sqrt 2 }} = \sqrt {{{\left( {3 - b} \right)}^2} + 1}  \Leftrightarrow \left| {b - 2} \right| = \sqrt 2 .\sqrt {{b^2} - 6b + 10} \)

\( \Rightarrow {b^2} - 4b + 4 = 2\left( {{b^2} - 6b + 10} \right)\)\( \Leftrightarrow {b^2} - 8b + 16 = 0 \Leftrightarrow b = 4\).

Suy ra \(a = 3 - 4 =  - 1\).

Vậy \(d: - x - y + 4 = 0\,\,\,{\rm{hay}}\,\,d:x + y - 4 = 0\).

Trường hợp 2: \( - a + b - 1 =  - 2\left( {b - 2} \right) \Leftrightarrow a - 3b + 5 = 0\)\( \Leftrightarrow a = 3b - 5\).

Thay \(a = 3b - 5\) vào (*) ta được: \(\frac{{\left| {b - 2} \right|}}{{\sqrt 2 }} = \sqrt {{{\left( {3b - 5} \right)}^2} + 1}  \Leftrightarrow \left| {b - 2} \right| = \sqrt 2 .\sqrt {9{b^2} - 30b + 26} \)

\( \Rightarrow {b^2} - 4b + 4 = 2\left( {9{b^2} - 30b + 26} \right)\)\( \Leftrightarrow 17{b^2} - 56b + 48 = 0\) (vô nghiệm).

Vậy phương trình đường thẳng \(d\) cần lập có dạng: \(x + y - 4 = 0\).