Một hình bình hành có hai cạnh nằm trên hai đường thẳng \[x + 3y - 6 = 0\] và \[2x - 5y - 1 = 0\]. Tâm của hình bình hành là điểm \[I\left( {3;5} \right)\]. Viết phương trình hai cạnh còn lại.

Ta có: \(\frac{1}{2} \ne \frac{3}{{ - 5}}\), do đó hai đường thẳng \[x + 3y - 6 = 0\] và \[2x - 5y - 1 = 0\] cắt nhau.

Giả sử hình bình hành \(ABCD\) có hai cạnh \[AB:x + 3y - 6 = 0\] và \[AD:2x - 5y - 1 = 0\].

Khi đó, tọa độ đỉnh \(A\) là nghiệm của hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}x + 3y - 6 = 0\\2x - 5y - 1 = 0\end{array} \right. \Rightarrow A\left( {3;1} \right)\].

Vì tâm của hình bình hành là điểm \[I\left( {3;5} \right)\] nên \[I\] là trung điểm của \[AC\], do đó:

\[\left\{ \begin{array}{l}2{x_I} = {x_A} + {x_C}\\2{y_I} = {y_A} + {y_C}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}6 = 3 + {x_C}\\10 = 1 + {y_C}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_C} = 3\\{y_C} = 9\end{array} \right.\]\[ \Rightarrow C\left( {3;9} \right)\].

Vì \[DC\,\,{\rm{//}}\,\,AB\] nên phương trình \[DC:x + 3y + n = 0\] \(\left( {n \ne  - 6} \right)\).

\[C\left( {3;9} \right) \in DC \Rightarrow 3 + 27 + n = 0 \Rightarrow n =  - 30\] (t/m).

\[ \Rightarrow \] Phương trình \[DC:x + 3y - 30 = 0\].

Vì \[BC\,\,{\rm{//}}\,AD\] nên phương trình \[BC:2x - 5y + m = 0\,\,\,\left( {m \ne  - 1} \right)\].

\[C\left( {3;9} \right) \in BC \Rightarrow 6 - 45 + m = 0 \Rightarrow m = 39\] (t/m).

\[ \Rightarrow \] Phương trình \[BC:2x - 5y + 39 = 0\].