Một hội nghị có 10 đại biểu tham dự được xếp ngồi vào một ghế dài có 10 chỗ, mỗi người ngồi một chỗ, biết rằng trong đó có 3 đại biểu là \(A,\,B,\,C\). Có bao nhiêu cách xếp để \(A\) và \(B\) luôn ngồi cạnh nhau nhưng \(A\) và \(C\) không được ngồi cạnh nhau?

- Xếp để \(A\) và \(B\) luôn ngồi cạnh nhau, ta có:

Coi \(AB\) như 1 phần tử, trường hợp này có 2 cách thỏa mãn là \(AB\) và \(BA\).

Ứng với 1 phần tử \(AB\) và 8 đại biểu còn lại có \(9!\) cách xếp.

Do đó có \(2.9!\) cách xếp.

- Xếp để \(A\) luôn ngồi cạnh cả \(B\) và \(C\) là:

Coi \(ABC\) như 1 phần tử, do đó có thể có 2 cách thỏa mãn là \(CAB\) và \(BAC\).

Ứng với 1 phần tử \(ABC\) và 7 đại biểu còn lại có \(8!\) cách xếp.

Do đó có \(2.8!\) cách xếp.

Vậy có \(2.9!\, - \,\,2.8! = 645\,\,120\) cách xếp thỏa mãn yêu cầu bài toán.