Cho tam giác \[ABC\;\left( {AB > BC > AC} \right)\] có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn \[\left( O \right)\]. Gọi điểm \[K\] là chân đường vuông góc kẻ từ điểm \[A\] đến cạnh \[BC\] và \[H\] là trực tâm của tam giác \[ABC\]. Gọi \[M\] là điểm đối xứng với điểm \[B\] qua điểm \[K\]. Gọi điểm \[N\] là giao điểm của hai đường thẳng \[HM\] và \[AC\].
a. Chứng minh rằng bốn điểm \[A,H,C,M\] cùng thuộc một đường tròn.
b. Đường thẳng \[AH\] cắt đường tròn \[\left( O \right)\] tại điểm \[F\;\left( {F \ne A} \right)\]. Gọi \[P\] là giao điểm của hai đường thẳng \[KN\] và \[BF\]. Chứng minh rằng \[NA.NC = NM.FP\].
Cho tam giác \[ABC\;\left( {AB > BC > AC} \right)\] có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn \[\left( O \right)\]. Gọi điểm \[K\] là chân đường vuông góc kẻ từ điểm \[A\] đến cạnh \[BC\] và \[H\] là trực tâm của tam giác \[ABC\]. Gọi \[M\] là điểm đối xứng với điểm \[B\] qua điểm \[K\]. Gọi điểm \[N\] là giao điểm của hai đường thẳng \[HM\] và \[AC\].
a. Chứng minh rằng bốn điểm \[A,H,C,M\] cùng thuộc một đường tròn.
b. Đường thẳng \[AH\] cắt đường tròn \[\left( O \right)\] tại điểm \[F\;\left( {F \ne A} \right)\]. Gọi \[P\] là giao điểm của hai đường thẳng \[KN\] và \[BF\]. Chứng minh rằng \[NA.NC = NM.FP\].
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
![Cho tam giác \[ABC\;\left( {AB > BC > AC} \right)\] có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/12/blobid5-1767104824.png)
a. Chứng minh rằng bốn điểm \[A,H,C,M\] cùng thuộc một đường tròn.
Theo giả thiết ta có:
\[HK \bot BM\]
Đồng thời \[K\] là trung điểm của \[BM\].
Suy ra \[\Delta HBM\] cân tại \[H\]. Suy ra \[\widehat {HBC} = \widehat {HMC}\].
Mặt khác \[\widehat {HBC} = \widehat {HAC}\] (hai góc cùng phụ với \[\widehat {ACB}\]).
Do đó \[\widehat {HAC} = \widehat {HMC}\]. Suy ra bốn điểm \[A,H,C,M\] cùng thuộc một đường tròn.b)![Cho tam giác \[ABC\;\left( {AB > BC > AC} \right)\] có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (ảnh 2)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/12/blobid6-1767104869.png)
Ta có:
\[\widehat {FBC} = \widehat {FAC}\] (hai góc nội tiếp cùng chắn ).
\[\widehat {FAC} = \widehat {HBC}\] (hai góc cùng phụ với \[\widehat {ACB}\]).
Suy ra \[\widehat {HBK} = \widehat {KBF}\].
\[\Delta HBF\] có \[BK\] đồng thời là đường cao và đường phân giác. Suy ra \[\Delta HBF\] cân tại \[B\]. Do đó \[KH = KF\].
Vì tứ giác \[HBFM\] có hai đường chéo vuông góc với nhau tại trung điểm mỗi đường nên tứ giác \[HBFM\] là hình thoi.
Suy ra \[\widehat {NHK} = \widehat {KFP}\].
Xét \[\Delta KHN\] và \[\Delta KFP\] ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}\widehat {KHN} = \widehat {KFP}\\KH = KF\\\widehat {HKN} = \widehat {FKP}\end{array} \right.\].
Suy ra \[\Delta KHN = \Delta KFP\;\left( {g.c.g} \right)\].
Do đó \[HN = FP\].
Vì:
\[\widehat {HAN} = \widehat {CMN}\] (tứ giác \[AHCM\] nội tiếp)
\[\widehat {ANH} = \widehat {MNC}\] (đối đỉnh)
nên \[\Delta ANH\] đồng dạng với \[\Delta MNC\;\left( {g.g} \right)\].
Suy ra \[\frac{{AN}}{{MN}} = \frac{{NH}}{{NC}} \Leftrightarrow AN.NC = NH.MN\].
Vì \[HN = FP\] nên \[NA.NC = NM.FP\].
Hot: 1000+ Đề thi giữa kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
![Cho tam giác \[ABC\] vuông tại A (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/12/blobid4-1767104773.png)
a. Chứng minh \[\widehat {DHA} = \widehat {DCA}\].
Vì \[\widehat {CAD} = \widehat {CHD} = {90^0}\] (giả thiết) nên tứ giác \[AHCD\] là tứ giác nội tiếp đường tròn.
Suy ra \[\widehat {DHA} = \widehat {DCA}\] (hai góc nội tiếp cùng chắn ).
b. Chứng minh \[AK = AB\].
Vì \[\left\{ \begin{array}{l}AC = AD\\\widehat {DAC} = {90^0}\end{array} \right.\] nên tam giác \[ACD\] vuông cân tại \[A\].
Suy ra \[\widehat {DHA} = \widehat {DCA} = {45^0}.\quad \left( 1 \right)\]
Vì \[\widehat {KAB} = \widehat {KHB} = {90^0}\] (giả thiết) nên \[\widehat {KAB} + \widehat {KHB} = {180^0}\].
Do đó tứ giác \[AKHB\] là tứ giác nội tiếp đường tròn.
Suy ra \[\widehat {KBA} = \widehat {KHA}\] (hai góc nội tiếp cùng chắn ). \[\left( 2 \right)\]
Từ \[\left( 1 \right)\] và \[\left( 2 \right)\] suy ra \[\widehat {KBA} = {45^0}\].
Do đó \[\widehat {AKB} = {90^0} - {45^0} = {45^0}\].
Vậy, tam giác \[ABK\] vuông cân tại \[A\]. Suy ra \[AK = AB\].
Lời giải
![Cho tam giác \[ABC\] vuông tại \[A\] có đường cao \[AH\]. Biết (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/12/blobid1-1767104532.png)
Áp dụng định lý Py-ta-go trong tam giác vuông \[AHC\] ta có:
\[A{C^2} = A{H^2} + H{C^2} \Rightarrow A{C^2} = {4^2} + {3^2} = 25 \Rightarrow AC = 5\left( {cm} \right)\].
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \[ABC\] ta có:
\[A{H^2} = BH.CH \Rightarrow BH = \frac{{A{H^2}}}{{CH}} = \frac{{16}}{3}\;\left( {cm} \right)\].
Do đó \[BC = BH + HC = \frac{{16}}{3} + 3 = \frac{{25}}{3}\;\left( {cm} \right)\].
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \[ABC\] ta có:
\[AB.AC = AH.BC \Rightarrow AB = \frac{{AH.BC}}{{AC}} = \frac{{20}}{3}\;\left( {cm} \right)\].
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập