Câu hỏi:

30/12/2025 63

Cho tam giác \[ABC\;\left( {AB > BC > AC} \right)\] có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn \[\left( O \right)\]. Gọi điểm \[K\] là chân đường vuông góc kẻ từ điểm \[A\] đến cạnh \[BC\] và \[H\] là trực tâm của tam giác \[ABC\]. Gọi \[M\] là điểm đối xứng với điểm \[B\] qua điểm \[K\]. Gọi điểm \[N\] là giao điểm của hai đường thẳng \[HM\] và \[AC\].

a. Chứng minh rằng bốn điểm \[A,H,C,M\] cùng thuộc một đường tròn.

b. Đường thẳng \[AH\] cắt đường tròn \[\left( O \right)\] tại điểm \[F\;\left( {F \ne A} \right)\]. Gọi \[P\] là giao điểm của hai đường thẳng \[KN\] và \[BF\]. Chứng minh rằng \[NA.NC = NM.FP\].

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán năm 2023-2024 Thái Nguyên có đáp án !!

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

$Cho tam giác \[ABC\;\left( {AB > BC > AC} \right)\] có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (ảnh 1)$

a. Chứng minh rằng bốn điểm \[A,H,C,M\] cùng thuộc một đường tròn.

Theo giả thiết ta có:

\[HK \bot BM\]

Đồng thời \[K\] là trung điểm của \[BM\].

Suy ra \[\Delta HBM\] cân tại \[H\]. Suy ra \[\widehat {HBC} = \widehat {HMC}\].

Mặt khác \[\widehat {HBC} = \widehat {HAC}\] (hai góc cùng phụ với \[\widehat {ACB}\]).

Do đó \[\widehat {HAC} = \widehat {HMC}\]. Suy ra bốn điểm \[A,H,C,M\] cùng thuộc một đường tròn.

b) $Cho tam giác \[ABC\;\left( {AB > BC > AC} \right)\] có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (ảnh 2)$

Ta có:

\[\widehat {FBC} = \widehat {FAC}\] (hai góc nội tiếp cùng chắn ).

\[\widehat {FAC} = \widehat {HBC}\] (hai góc cùng phụ với \[\widehat {ACB}\]).

Suy ra \[\widehat {HBK} = \widehat {KBF}\].

\[\Delta HBF\] có \[BK\] đồng thời là đường cao và đường phân giác. Suy ra \[\Delta HBF\] cân tại \[B\]. Do đó \[KH = KF\].

Vì tứ giác \[HBFM\] có hai đường chéo vuông góc với nhau tại trung điểm mỗi đường nên tứ giác \[HBFM\] là hình thoi.

Suy ra \[\widehat {NHK} = \widehat {KFP}\].

Xét \[\Delta KHN\] và \[\Delta KFP\] ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}\widehat {KHN} = \widehat {KFP}\\KH = KF\\\widehat {HKN} = \widehat {FKP}\end{array} \right.\].

Suy ra \[\Delta KHN = \Delta KFP\;\left( {g.c.g} \right)\].

Do đó \[HN = FP\].

Vì:

\[\widehat {HAN} = \widehat {CMN}\] (tứ giác \[AHCM\] nội tiếp)

\[\widehat {ANH} = \widehat {MNC}\] (đối đỉnh)

nên \[\Delta ANH\] đồng dạng với \[\Delta MNC\;\left( {g.g} \right)\].

Suy ra \[\frac{{AN}}{{MN}} = \frac{{NH}}{{NC}} \Leftrightarrow AN.NC = NH.MN\].

Vì \[HN = FP\] nên \[NA.NC = NM.FP\].

Hot: 1000+ Đề thi giữa kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho tứ giác \[ABCD\] nội tiếp đường tròn \[\left( O \right)\]. Gọi \[H\] là giao điểm của hai đường chéo \[AC\] và \[BD\]. Biết rằng \[\widehat {ABD} = 30^\circ ,\;\widehat {BDC} = 60^\circ \]. Tính số đo của các cung nhỏ \[AD,BC\] và số đo của \[\widehat {BHC}\].

Xem đáp án

Lời giải

$Cho tứ giác \[ABCD\] nội tiếp đường tròn \[\left( O \right)\]. Gọi \[H\] là giao điểm của hai đường chéo (ảnh 1)$

Áp dụng định lý của góc nội tiếp ta có:

$s đ \overset{⏜}{A D} = 2 \hat{A B D} = 60^{0}$

$s đ \overset{⏜}{B C} = 2 \hat{B D C} = 120^{0}$

Vì \[\widehat {BHC}\] là góc có đỉnh ở bên trong đường tròn nên ta có:

$\hat{B H C} = \frac{1}{2} (s đ \overset{⏜}{A D} + s đ \overset{⏜}{B C}) = 90^{0}$

Câu 2

Cho hình chữ nhật có chu vi bằng \[30\;cm\]. Nếu chiều rộng tăng thêm \[3\;cm\] và chiều dài giảm đi \[1\;cm\] thì diện tích của hình chữ nhật đó sẽ tăng thêm \[18\;c{m^2}\]. Tính chiều rộng và chiều dài của hình chữ nhật đã cho.

Xem đáp án

Lời giải

Gọi chiều rộng, chiều dài của hình chữ nhật lần lượt là \[x,y\;\left( {x,y > 0} \right)\], đơn vị: \[cm\].

Khi đó ta có: \[2\left( {x + y} \right) = 30 \Leftrightarrow x + y = 15\]

Khi chiều rộng tăng thêm \[3\;cm\] và chiều dài giảm đi \[1\;cm\] thì diện tích của hình chữ nhật đó sẽ tăng thêm \[18\;c{m^2}\]nên ta có phương trình

\[\left( {x + 3} \right)\left( {y - 1} \right) = xy + 18 \Leftrightarrow - x + 3y = 21\].

Từ đó ta có hệ phương trình:

\[\left\{ \begin{array}{l}x + y = 15\\ - x + 3y = 21\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 6\\y = 9\end{array} \right.\] (thỏa mãn điều kiện).

Vậy, chiều rộng, chiều dài của hình chữ nhật lần lượt là \[6\left( {cm} \right);9\left( {cm} \right)\].

Câu 3