Câu hỏi:

30/12/2025 195

Cho tam giác \[ABC\;\left( {AB > BC > AC} \right)\] có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn \[\left( O \right)\]. Gọi điểm \[K\] là chân đường vuông góc kẻ từ điểm \[A\] đến cạnh \[BC\] và \[H\] là trực tâm của tam giác \[ABC\]. Gọi \[M\] là điểm đối xứng với điểm \[B\] qua điểm \[K\]. Gọi điểm \[N\] là giao điểm của hai đường thẳng \[HM\] và \[AC\].

a. Chứng minh rằng bốn điểm \[A,H,C,M\] cùng thuộc một đường tròn.

b. Đường thẳng \[AH\] cắt đường tròn \[\left( O \right)\] tại điểm \[F\;\left( {F \ne A} \right)\]. Gọi \[P\] là giao điểm của hai đường thẳng \[KN\] và \[BF\]. Chứng minh rằng \[NA.NC = NM.FP\].

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán năm 2023-2024 Thái Nguyên có đáp án !!

Giao bài

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

$Cho tam giác \[ABC\;\left( {AB > BC > AC} \right)\] có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (ảnh 1)$

a. Chứng minh rằng bốn điểm \[A,H,C,M\] cùng thuộc một đường tròn.

Theo giả thiết ta có:

\[HK \bot BM\]

Đồng thời \[K\] là trung điểm của \[BM\].

Suy ra \[\Delta HBM\] cân tại \[H\]. Suy ra \[\widehat {HBC} = \widehat {HMC}\].

Mặt khác \[\widehat {HBC} = \widehat {HAC}\] (hai góc cùng phụ với \[\widehat {ACB}\]).

Do đó \[\widehat {HAC} = \widehat {HMC}\]. Suy ra bốn điểm \[A,H,C,M\] cùng thuộc một đường tròn.

b) $Cho tam giác \[ABC\;\left( {AB > BC > AC} \right)\] có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (ảnh 2)$

Ta có:

\[\widehat {FBC} = \widehat {FAC}\] (hai góc nội tiếp cùng chắn ).

\[\widehat {FAC} = \widehat {HBC}\] (hai góc cùng phụ với \[\widehat {ACB}\]).

Suy ra \[\widehat {HBK} = \widehat {KBF}\].

\[\Delta HBF\] có \[BK\] đồng thời là đường cao và đường phân giác. Suy ra \[\Delta HBF\] cân tại \[B\]. Do đó \[KH = KF\].

Vì tứ giác \[HBFM\] có hai đường chéo vuông góc với nhau tại trung điểm mỗi đường nên tứ giác \[HBFM\] là hình thoi.

Suy ra \[\widehat {NHK} = \widehat {KFP}\].

Xét \[\Delta KHN\] và \[\Delta KFP\] ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}\widehat {KHN} = \widehat {KFP}\\KH = KF\\\widehat {HKN} = \widehat {FKP}\end{array} \right.\].

Suy ra \[\Delta KHN = \Delta KFP\;\left( {g.c.g} \right)\].

Do đó \[HN = FP\].

Vì:

\[\widehat {HAN} = \widehat {CMN}\] (tứ giác \[AHCM\] nội tiếp)

\[\widehat {ANH} = \widehat {MNC}\] (đối đỉnh)

nên \[\Delta ANH\] đồng dạng với \[\Delta MNC\;\left( {g.g} \right)\].

Suy ra \[\frac{{AN}}{{MN}} = \frac{{NH}}{{NC}} \Leftrightarrow AN.NC = NH.MN\].

Vì \[HN = FP\] nên \[NA.NC = NM.FP\].

Đang tải chế độ Học...

Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay

ĐẶC QUYỀN VIP

Đăng ký VIP để học và luyện thi không giới hạn

Trọn bộ quyền lợi trên Vietjack, trong một tài khoản.

Phòng luyện thi cấp tốc: ĐGNL - ĐGTD, Tốt nghiệp THPT, Ôn vào 10, Ôn vào 6, Ôn Giữa kì/Cuối kì
Hơn 200K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 3tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem hàng ngàn bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện
Đăng ký ngay

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho hình chữ nhật có chu vi bằng \[30\;cm\]. Nếu chiều rộng tăng thêm \[3\;cm\] và chiều dài giảm đi \[1\;cm\] thì diện tích của hình chữ nhật đó sẽ tăng thêm \[18\;c{m^2}\]. Tính chiều rộng và chiều dài của hình chữ nhật đã cho.

Xem đáp án

Lời giải

Gọi chiều rộng, chiều dài của hình chữ nhật lần lượt là \[x,y\;\left( {x,y > 0} \right)\], đơn vị: \[cm\].

Khi đó ta có: \[2\left( {x + y} \right) = 30 \Leftrightarrow x + y = 15\]

Khi chiều rộng tăng thêm \[3\;cm\] và chiều dài giảm đi \[1\;cm\] thì diện tích của hình chữ nhật đó sẽ tăng thêm \[18\;c{m^2}\]nên ta có phương trình

\[\left( {x + 3} \right)\left( {y - 1} \right) = xy + 18 \Leftrightarrow - x + 3y = 21\].

Từ đó ta có hệ phương trình:

\[\left\{ \begin{array}{l}x + y = 15\\ - x + 3y = 21\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 6\\y = 9\end{array} \right.\] (thỏa mãn điều kiện).

Vậy, chiều rộng, chiều dài của hình chữ nhật lần lượt là \[6\left( {cm} \right);9\left( {cm} \right)\].

Câu 2

Cho tứ giác \[ABCD\] nội tiếp đường tròn \[\left( O \right)\]. Gọi \[H\] là giao điểm của hai đường chéo \[AC\] và \[BD\]. Biết rằng \[\widehat {ABD} = 30^\circ ,\;\widehat {BDC} = 60^\circ \]. Tính số đo của các cung nhỏ \[AD,BC\] và số đo của \[\widehat {BHC}\].

Xem đáp án

Lời giải

$Cho tứ giác \[ABCD\] nội tiếp đường tròn \[\left( O \right)\]. Gọi \[H\] là giao điểm của hai đường chéo (ảnh 1)$

Áp dụng định lý của góc nội tiếp ta có:

$s đ \overset{⏜}{A D} = 2 \hat{A B D} = 60^{0}$

$s đ \overset{⏜}{B C} = 2 \hat{B D C} = 120^{0}$

Vì \[\widehat {BHC}\] là góc có đỉnh ở bên trong đường tròn nên ta có:

$\hat{B H C} = \frac{1}{2} (s đ \overset{⏜}{A D} + s đ \overset{⏜}{B C}) = 90^{0}$

Câu 3