Câu hỏi:

30/12/2025 5

Cho tam giác \[ABC\;\left( {AB > BC > AC} \right)\] có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn \[\left( O \right)\]. Gọi điểm \[K\] là chân đường vuông góc kẻ từ điểm \[A\] đến cạnh \[BC\] và \[H\] là trực tâm của tam giác \[ABC\]. Gọi \[M\] là điểm đối xứng với điểm \[B\] qua điểm \[K\]. Gọi điểm \[N\] là giao điểm của hai đường thẳng \[HM\] và \[AC\].

a. Chứng minh rằng bốn điểm \[A,H,C,M\] cùng thuộc một đường tròn.

b. Đường thẳng \[AH\] cắt đường tròn \[\left( O \right)\] tại điểm \[F\;\left( {F \ne A} \right)\]. Gọi \[P\] là giao điểm của hai đường thẳng \[KN\] và \[BF\]. Chứng minh rằng \[NA.NC = NM.FP\].

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán năm 2023-2024 Thái Nguyên có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

$Cho tam giác \[ABC\;\left( {AB > BC > AC} \right)\] có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (ảnh 1)$

a. Chứng minh rằng bốn điểm \[A,H,C,M\] cùng thuộc một đường tròn.

Theo giả thiết ta có:

\[HK \bot BM\]

Đồng thời \[K\] là trung điểm của \[BM\].

Suy ra \[\Delta HBM\] cân tại \[H\]. Suy ra \[\widehat {HBC} = \widehat {HMC}\].

Mặt khác \[\widehat {HBC} = \widehat {HAC}\] (hai góc cùng phụ với \[\widehat {ACB}\]).

Do đó \[\widehat {HAC} = \widehat {HMC}\]. Suy ra bốn điểm \[A,H,C,M\] cùng thuộc một đường tròn.

b) $Cho tam giác \[ABC\;\left( {AB > BC > AC} \right)\] có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (ảnh 2)$

Ta có:

\[\widehat {FBC} = \widehat {FAC}\] (hai góc nội tiếp cùng chắn ).

\[\widehat {FAC} = \widehat {HBC}\] (hai góc cùng phụ với \[\widehat {ACB}\]).

Suy ra \[\widehat {HBK} = \widehat {KBF}\].

\[\Delta HBF\] có \[BK\] đồng thời là đường cao và đường phân giác. Suy ra \[\Delta HBF\] cân tại \[B\]. Do đó \[KH = KF\].

Vì tứ giác \[HBFM\] có hai đường chéo vuông góc với nhau tại trung điểm mỗi đường nên tứ giác \[HBFM\] là hình thoi.

Suy ra \[\widehat {NHK} = \widehat {KFP}\].

Xét \[\Delta KHN\] và \[\Delta KFP\] ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}\widehat {KHN} = \widehat {KFP}\\KH = KF\\\widehat {HKN} = \widehat {FKP}\end{array} \right.\].

Suy ra \[\Delta KHN = \Delta KFP\;\left( {g.c.g} \right)\].

Do đó \[HN = FP\].

Vì:

\[\widehat {HAN} = \widehat {CMN}\] (tứ giác \[AHCM\] nội tiếp)

\[\widehat {ANH} = \widehat {MNC}\] (đối đỉnh)

nên \[\Delta ANH\] đồng dạng với \[\Delta MNC\;\left( {g.g} \right)\].

Suy ra \[\frac{{AN}}{{MN}} = \frac{{NH}}{{NC}} \Leftrightarrow AN.NC = NH.MN\].

Vì \[HN = FP\] nên \[NA.NC = NM.FP\].

Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 1 file word cấu trúc mới 2025 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho hàm số bậc nhất \[y = 2x + m\], với \[m\] là tham số.

a. Hàm số đã cho đồng biến hay nghịch biến trên \[\mathbb{R}\]? Vì sao?

b. Tìm giá trị của \[m\] để đồ thị hàm số đã cho đi qua điểm \[A\left( {1;3} \right)\].

Xem đáp án

Lời giải

a. Hàm số \[y = 2x + m\] đồng biến trên \[\mathbb{R}\].

Vì \[x = 2 > 0\]

b. Đồ thị hàm số \[y = 2x + m\] đi qua điểm \[A\left( {1;3} \right)\] khi và chỉ khi

\[3 = 2.1 + m \Leftrightarrow m = 1\].

Câu 2

Cho biểu thức \[B = \frac{x}{{\sqrt x + 2}} - \frac{4}{{\sqrt x }} + \frac{8}{{x + 2\sqrt x }}\], với \[x > 0\].

a. Rút gọn biểu thức \[B\].

b. Tính giá trị của biểu thức \[B\] khi \[x = 7 + 4\sqrt 3 \].

Xem đáp án

Lời giải

a. Với \[x > 0\] thì \[B = \frac{{x\sqrt x - 4\left( {\sqrt x + 2} \right) + 8}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 2} \right)}}\]

\[\quad = \frac{{\sqrt x \left( {x - 4} \right)}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 2} \right)}}\]

\[\quad = \frac{{x - 4}}{{\sqrt x + 2}} = \frac{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{\sqrt x + 2}} = \sqrt x - 2\]

b. Ta có: \[x = 7 + 4\sqrt 3 = {\left( {\sqrt 3 + 2} \right)^2}\].

Khi đó \[B = \sqrt {{{\left( {\sqrt 3 + 2} \right)}^2}} - 2 = \sqrt 3 + 2 - 2 = \sqrt 3 \].

Câu 3