Đường hypebol \(\frac{{{x^2}}}{5} - \frac{{{y^2}}}{4} = 1\) có tiêu cự bằng

Parabol có phương trình chính tắc là: \({y^2} = 2px\,\,\left( {p > 0} \right)\).

Vì \(AB = 40\) cm và \(h = 30\) cm nên \(A\left( {30;\,\,20} \right)\).

Do \(A\left( {30;\,\,20} \right)\) thuộc parabol nên ta có: \({20^2} = 2p\,.\,\,30 \Rightarrow p = \frac{{20}}{3}\).

Vậy parabol có phương trình chính tắc là: \({y^2} = \frac{{40}}{3}x\).

Gọi độ dài một cạnh của bồn trồng hoa và bồn trồng cây lần lượt là \(x\), \(y\) (m).

\(\left( {x,y > 0} \right)\)

Chu vi của bồn trồng hoa là: \(4x\) (m).

Chu vi của bồn trồng cây là: \(4y\) (m).

Tổng chu vi của các bồn là: \(4x + 4y = 48 \Leftrightarrow x + y - 12 = 0\).

Diện tích của bồn trồng hoa là: \({x^2}\,\,\left( {{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\).

Diện tích của bồn trồng cây là: \({y^2}\left( {{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\).

Gọi tổng diện tích của chúng là \(S\,\,\left( {{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\). Khi đó ta có: \(S = {x^2} + {y^2}\).

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), xét đường tròn \(\left( C \right):{x^2} + {y^2} = S\) có tâm \(O\left( {0;0} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt S \)  và đường thẳng \(\Delta :x + y - 12 = 0\).

Khi đó bài toán được chuyển thành: Tìm \(R\) nhỏ nhất để \(\left( C \right)\) và \(\Delta \) có ít nhất một điểm chung, với hoành độ và tung độ đều là các số dương.

Bài toán trên tương đương với \(\Delta \) tiếp xúc với \(\left( C \right)\), đồng thời khi đó điểm \(M\) trùng với điểm \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(O\) trên \(\Delta \).

Ta có: \(OH \bot \Delta  \Rightarrow \overrightarrow {{u_{OH}}}  = \overrightarrow {{n_\Delta }}  = \left( {1;1} \right)\).

Suy ra đường thẳng \(OH\) có một vectơ pháp tuyến là: \(\overrightarrow {{n_{OH}}}  = \left( { - 1;1} \right)\).

Phương trình đường thẳng \(OH\) là: \( - 1\left( {x - 0} \right) + 1\left( {y - 0} \right) = 0 \Leftrightarrow x - y = 0\)

Điểm \(H\) là giao điểm của đường thẳng \(OH\) và đường thẳng \(\Delta \) nên tọa độ của  \(H\) là nghiệm của hệ phương trình

\(\left\{ \begin{array}{l}x + y - 12 = 0\\x - y = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 6\\y = 6\end{array} \right.\).

Vậy độ dài cạnh bồn trồng hoa và bồn trồng cây đều là 6 m thì thỏa mãn yêu cầu bài toán.