Một công ty du lịch thông báo giá tiền cho chuyến đi tham quan của một nhóm khách du lịch như sau:

20 khách đầu tiên có giá là 300 000 đồng/người. Nếu có nhiều hơn 20 người đăng kí thì cứ có thêm 1 người, giá vé sẽ giảm 10 000 đồng/người cho toàn bộ hành khách.

a) Gọi \(x\) là số lượng khách từ người thứ 21 trở lên của nhóm. Biểu thị doanh thu của công ty theo \(x\).

b) Số người từ người thứ 21 trở lên của nhóm khách du lịch trong khoảng bao nhiêu thì công ty có lãi? Biết rằng chi phí của chuyến đi là 4 000 000 đồng.

Gọi độ dài một cạnh của bồn trồng hoa và bồn trồng cây lần lượt là \(x\), \(y\) (m).

\(\left( {x,y > 0} \right)\)

Chu vi của bồn trồng hoa là: \(4x\) (m).

Chu vi của bồn trồng cây là: \(4y\) (m).

Tổng chu vi của các bồn là: \(4x + 4y = 48 \Leftrightarrow x + y - 12 = 0\).

Diện tích của bồn trồng hoa là: \({x^2}\,\,\left( {{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\).

Diện tích của bồn trồng cây là: \({y^2}\left( {{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\).

Gọi tổng diện tích của chúng là \(S\,\,\left( {{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\). Khi đó ta có: \(S = {x^2} + {y^2}\).

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), xét đường tròn \(\left( C \right):{x^2} + {y^2} = S\) có tâm \(O\left( {0;0} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt S \)  và đường thẳng \(\Delta :x + y - 12 = 0\).

Khi đó bài toán được chuyển thành: Tìm \(R\) nhỏ nhất để \(\left( C \right)\) và \(\Delta \) có ít nhất một điểm chung, với hoành độ và tung độ đều là các số dương.

Bài toán trên tương đương với \(\Delta \) tiếp xúc với \(\left( C \right)\), đồng thời khi đó điểm \(M\) trùng với điểm \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(O\) trên \(\Delta \).

Ta có: \(OH \bot \Delta  \Rightarrow \overrightarrow {{u_{OH}}}  = \overrightarrow {{n_\Delta }}  = \left( {1;1} \right)\).

Suy ra đường thẳng \(OH\) có một vectơ pháp tuyến là: \(\overrightarrow {{n_{OH}}}  = \left( { - 1;1} \right)\).

Phương trình đường thẳng \(OH\) là: \( - 1\left( {x - 0} \right) + 1\left( {y - 0} \right) = 0 \Leftrightarrow x - y = 0\)

Điểm \(H\) là giao điểm của đường thẳng \(OH\) và đường thẳng \(\Delta \) nên tọa độ của  \(H\) là nghiệm của hệ phương trình

\(\left\{ \begin{array}{l}x + y - 12 = 0\\x - y = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 6\\y = 6\end{array} \right.\).

Vậy độ dài cạnh bồn trồng hoa và bồn trồng cây đều là 6 m thì thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án đúng là: A

Ta có: \(\overrightarrow {BA}  = \left( {2 - \left( { - 5} \right);\, - 3 - \left( { - 4} \right)} \right) = \left( {7;\,\,1} \right)\).