Có hai học sinh lớp 10, hai học sinh lớp 11 và bốn học sinh lớp 12 xếp thành một hàng dọc sao cho không có hai học sinh lớp 12 nào đứng liền nhau. Hỏi có bao nhiêu cách xếp hàng như vậy.

Lời giải

a) Có \(A_4^3 = 24\) số có ba chữ số khác nhau được tạo thành từ các chữ số 1; 2; 3; 4.

b) Gọi số cần lập là \[\overline {abc} \].

Vì số cần lập là số lẻ nên \(c \in \left\{ {1;3;5} \right\}\). Có 3 cách chọn \(c\).

Có 4 cách chọn \(a\). Có 4 cách chọn \(b\).

Do đó có \(4 \cdot 4 \cdot 3 = 48\) số lẻ có ba chữ số khác nhau.

c) Gọi số cần lập là \[\overline {abc} \].

Số cần lập chia hết cho 5 nên \(c \in \left\{ {0;5} \right\}\) nên có 2 cách chọn \(c\).

Có 8 cách chọn \(a\). Có 9 cách chọn \(b\).

Suy ra có \(8 \cdot 9 \cdot 2 = 144\) số có ba chữ số chia hết cho 5 lập được từ các số trên.

d) Gọi số cần lập là \(\overline {abcd} \).

Số cần lập là số chẵn nên \(d \in \left\{ {0;2;4;6} \right\}\) nên có \(4\) cách chọn \(d\).

Có \(6\) cách chọn a.

Có 7 cách chọn \(b\).

Có 7 cạch chọn \(c\).

Suy ra có \(6 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 4 = 1176\) số chẵn có 4 chữ số được lập từ các số trên.

Đáp án: a) Đúng;    b) Sai;    c) Đúng;   d) Sai.

Lời giải

a) Số cách chọn một tổ 5 bạn bất kì là \(C_{12}^5 = 792\) cách.

b) Số cách chọn một tổ 5 bạn trong đó có cả hai bạn A và B là \(C_{10}^3 = 120\) cách.

c) Chọn một tổ 5 bạn trong đó không có hai bạn A và B là \(C_{10}^5 = 252\) cách.

d) Số cách chọn 5 bạn trong đó có đúng một bạn trong hai bạn A và B là

\(792 - 120 - 252 = 420\) cách.

Chọn 1 tổ trưởng từ nhóm 5 bạn này có 5 cách.

Vậy có \(5 \cdot 420 = 2100\) cách chọn trong trường hợp này.

Đáp án: a) Đúng;    b) Đúng;    c) Sai;   d) Đúng.