Cho tứ diện đều \(ABCD\) có cạnh bằng 1. Gọi \(M,N\) là hai điểm thay đổi lần lượt thuộc các cạnh \(AB;AC\) sao cho mặt phẳng \(\left( {DMN} \right)\) luôn vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\). Đặt \(AM = x;AN = y\). Tìm cặp số \(\left( {x;y} \right)\) để tam giác \(DMN\) có diện tích nhỏ nhất.

Đáp án đúng là A

Phương pháp giải

Sử dụng bất đẳng thức

Lời giải

Gọi \(O\) là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác đều \(ABC\). Do \(ABCD\) là tứ diện đều nên \(DO \bot \left( {ABC} \right)\). Theo đề bài, mặt phẳng \(\left( {DMN} \right) \bot \left( {ABC} \right)\) nên suy ra \(O \in MN\).

Tam giác \(DMN\) có \(DO \bot MN\) nên \({S_{\Delta DMN}} = \frac{1}{2}DO.MN\). Mà \(DO\) là hằng số nên \({S_{\Delta DMN}}\) lớn nhất khi \(MN\) lớn nhất, nhỏ nhất khi \(MN\) nhỏ nhất.

Áp dụng định lí cosin trong tam giác \(AMN\) ta có \(M{N^2} = {x^2} + {y^2} - xy = {(x + y)^2} - 3xy\).

Như vậy \(M,N\) thay đổi sao cho đoạn thẳng \(MN\) luôn đi qua \(O\). Ta có \(0 < x,y \le 1\).

Ta có \(\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {AN} - \overrightarrow {AM} = y\overrightarrow {AC} - x\overrightarrow {AB} \), \(\overrightarrow {MO} = \overrightarrow {AO} - \overrightarrow {AM} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AH} - x\overrightarrow {AB} = \left( {\frac{1}{3} - x} \right)\overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} \).

Vì \(\overrightarrow {MN} \) và \(\overrightarrow {MO} \) cùng hướng nên \(\frac{{\frac{1}{3}}}{y} = \frac{{\frac{1}{3} - x}}{{ - x}} > 0 \Leftrightarrow y\left( {\frac{1}{3} - x} \right) = - \frac{1}{3}x \Leftrightarrow 3xy = x + y\) .   

Từ \(0 < x,y \le 1\), ta có \(x + y = 3xy \Leftrightarrow \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 3 \Leftrightarrow \frac{1}{x} = 3 - \frac{1}{y} \Rightarrow \frac{1}{x} \le 2 \Leftrightarrow x \ge \frac{1}{2}\)

Ta có \(M{N^2} = {(x + y)^2} - \left( {x + y} \right)\).

Đặt \(t = x + y\). Ta có \(t = x + \frac{x}{{3x - 1}}\) với \(x \in \left[ {\frac{1}{2};1} \right],t'\left( x \right) = \frac{{3x\left( {3x - 2} \right)}}{{{{(3x - 1)}^2}}}\).

Vẽ bảng biến thiên và từ bảng biến thiên, ta có \(\frac{4}{3} \le t \le \frac{3}{2}\).

Ta có \(M{N^2} = f\left( t \right) = {t^2} - t\). Khảo sát sự biến thiên của hàm \(f\left( t \right)\) trên đoạn \(\left[ {\frac{4}{3};\frac{3}{2}} \right]\) ta được\(MN{\rm{min}} \Leftrightarrow t = \frac{4}{3} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \frac{2}{3}}\\{y = \frac{2}{3}}\end{array}} \right.\)