Đường thẳng \({\rm{\Delta }}\) đi qua điểm \(M\left( {3;1;1} \right)\), nằm trong mặt phẳng \(\left( \alpha \right):x + y - z - 3 = 0\) và tạo với đường thẳng \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1}\\{y = 4 + 3t{\rm{\;}}}\\{z = - 3 - 2t}\end{array}} \right.\) một góc nhỏ nhất thì phương trình của \({\rm{\Delta }}\) là:

Đáp án đúng là B

Phương pháp giải

Lời giải

Đường thẳng \(d\) có vectơ chỉ phương là \(\vec u = \left( {0;3; - 2} \right)\).

Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) có vectơ pháp tuyến là \(\vec n = \left( {1;1; - 1} \right)\).

vì \(\vec u.\vec n = 0.1 + 3.1 + \left( { - 2} \right).\left( { - 1} \right) = 5 \ne 0\) nên \(d\) cắt \(\left( \alpha \right)\).

Gọi \({d_1}\) là đường thẳng đi qua \(M\) và \({d_1}//d\), suy ra \({d_1}\) có phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 3}\\{y = 1 + 3t}\\{z = 1 - 2t}\end{array}} \right.\).

Lấy \(N\left( {3;4; - 1} \right) \in {d_1}\). Gọi \(K,H\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của \(N\) trên mặt phẳng (\(\alpha \)) và đường thẳng \({\rm{\Delta }}\).

Ta có: \(\left( {\widehat {d,{\rm{\Delta }}}} \right) = \widehat {NMH}\) và \({\rm{sin}}\widehat {NMH} = \frac{{NH}}{{MN}} \ge \frac{{NK}}{{MN}}\).

Do vậy \((\widehat {d,{\rm{\Delta }})}\) nhỏ nhất khi \(K \equiv H\) hay \({\rm{\Delta }}\) là đường thẳng \(MK\).

Đường thẳng \(NK\) có phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 3 + t}\\{y = 4 + t}\\{z = - 1 - t}\end{array}} \right.\).

Tọa độ điểm \(K\) ứng với \(t\) là nghiệm của phương trình:

\(\left( {3 + t} \right) + \left( {4 + t} \right) - \left( { - 1 - t} \right) - 3 = 0 \Leftrightarrow t = - \frac{5}{3}.{\rm{\;}}\) Suy \({\rm{\;}}\) ra \({\rm{\;}}K\left( {\frac{4}{3};\frac{7}{3};\frac{2}{3}} \right) \Rightarrow \) \(\overrightarrow {MK} = \left( {5; - 4;1} \right)\)