Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right)\) tâm \(I\left( {1; - 2;1} \right)\); bán kính \(R = 4\) và đường thẳng \(d:\frac{x}{2} = \frac{{y - 1}}{{ - 2}} = \frac{{z + 1}}{{ - 1}}\). Mặt phẳng \(\left( P \right)\) chứa \(d\) và cắt mặt cầu \(\left( S \right)\) theo một đường tròn có diện tích nhỏ nhất. Hỏi trong các điểm sau điểm nào có khoảng cách đến mặt phẳng \(\left( P \right)\) lớn nhất.
A. \(O\left( {0;0;0} \right)\).
B. \(A\left( {1;\frac{3}{5}; - \frac{1}{4}} \right)\).
C. \(B\left( { - 1; - 2; - 3} \right)\).
D. \(C\left( {2;1;0} \right)\).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Đáp án đúng là A
Phương pháp giải
Lời giải
Gọi \(H\left( {2t;1 - 2t; - 1 - t} \right)\) là hình chiếu của \(I\) lên đường thẳng \(d\).
Ta có: \(\overrightarrow {IH} .\overrightarrow {{u_d}} = 0 \Rightarrow 2\left( {2t - 1} \right) - 2\left( {3 - 2t} \right) - \left( { - 2 - t} \right) = 0 \Leftrightarrow t = \frac{2}{3} \Rightarrow H\left( {\frac{4}{3}; - \frac{1}{3}; - \frac{5}{3}} \right)\).
Vì \(IH = \sqrt {10} < 4 = R \Rightarrow d\) cắt mặt cầu \(\left( S \right)\) tại 2 điểm phân biệt.
Mặt phẳng \(\left( Q \right)\) bất kì chứa \(d\) luôn cắt \(\left( S \right)\) theo một đường tròn bán kính \(r\).
Khi đó \({r^2} = {R^2} - {d^2}\left( {I,\left( Q \right)} \right) \ge {R^2} - {d^2}\left( {I,d} \right) = 16 - 10 = 6\).
Do vậy mặt phẳng \(\left( P \right)\) chứa \(d\) cắt mặt cầu theo một đường tròn có diện tích nhỏ nhất khi và chỉ khi \(d\left( {I,\left( P \right)} \right) = d\left( {I,d} \right)\) hay mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua \(H\) nhận \(\overrightarrow {IH} = \left( {\frac{1}{3};\frac{5}{3}; - \frac{8}{3}} \right)\) làm vectơ pháp tuyến, do đó \(\left( P \right)\) có phương trình \(x + 5y - 8z - 13 = 0\).
Khi đó điểm \(O\left( {0;0;0} \right)\) có khoảng cách đến \(\left( P \right)\) lớn nhất.
Hot: 1000+ Đề thi giữa kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
- Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội 2025 (Tập 1) ( 39.000₫ )
- Tuyển tập 15 đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách Khoa Hà Nội 2025 (Tập 1) ( 39.000₫ )
- Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) ( 140.000₫ )
- Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội, TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) ( 150.000₫ )
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1
A. Đường hàng không có cự li vận chuyển trung bình dài nhất.
B. Đường biển có cự li vận chuyển trung bình nhỏ hơn đường sông.
C. Đường sắt có cự li vận chuyển trung bình nhỏ hơn đường bộ.
D. Đường hàng không có cự li vận chuyển trung bình ngắn nhất.
Lời giải
Đáp án đúng là A
Phương pháp giải
Nhận xét bảng số liệu.
Lời giải
- Công thức:
Cự li vận chuyển trung bình = Khối lượng luân chuyển/Khối lượng vận chuyển.
- Dựa vào công thức tính trên, ta có bảng số liệu sau:
Cự li vận chuyển hàng hóa trung bình phân theo ngành vận tải của nước ta năm 2021
=> Đường hàng không có cự li vận chuyển trung bình dài nhất là nhận xét đúng.
Lời giải
Đáp án đúng là "2640"
Phương pháp giải
Tính giá trị nhỏ nhất
Lời giải
Gọi \(x,y\) lần lượt là chiều rộng và chiều dài của đáy hình hộp.
Điều kiện: \(x > 0;y > 0\left( m \right)\).
Ta có thể tích của khối hộp: \(V = 1xy = 400 \Rightarrow xy = 400 \Rightarrow y = \frac{{400}}{x}\left( {{m^3}} \right)\).
Diện tích mặt đáy: \({S_d} = xy = x.\frac{{400}}{x} = 400\left( {{{\rm{m}}^2}} \right)\).
Giá tiền để làm mặt đáy là: \(400.4000000 = {16.10^8}\) (đồng).
Diện tích xung quanh của bể cá: \({S_{xq}} = 2.x.1 + 2.y.1 = 2.\left( {x + y} \right) = 2.\left( {x + \frac{{400}}{x}} \right)\).
Giá tiền để làm mặt bên là: \(2.\left( {x + \frac{{400}}{x}} \right).3000000 = {6.10^6}.\left( {x + \frac{{400}}{x}} \right)\).
Tổng chi phí để xây dựng bể cá là:
\(T\left( x \right) = {6.10^6}.\left( {x + \frac{{400}}{x}} \right) + {24.10^8} \ge {6.10^6}.2\sqrt {x.\frac{{400}}{x}} + {24.10^8} \approx 2640{\rm{\;}}\) (triệu đồng).
Câu 3
A. 0Wb.
B. −5,196.10−4Wb.
C. −10,392.10−4Wb.
D. 10,392.10−4Wb.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
A. \(\frac{5}{{11}}\).
B. \(\frac{6}{{11}}\).
C. \(\frac{1}{2}\).
D. \(\frac{4}{{11}}\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 7
A. −1371 kJ/mol.
B. −954 kJ/mol.
C. −149 kJ/mol.
D. +149 kJ/mol.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập