Cho hình lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) có đáy là tam giác đều. Hình chiếu của \(A'\) lên mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) là trọng tâm \(G\) của tam giác \(ABC\). Biết rằng góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {ABB'A'} \right)\) và \(\left( {ABC} \right)\) bằng \({60^ \circ }\), đồng thời diện tích hình bình hành \(BCC'B'\) bằng \(\frac{{{a^2}\sqrt {21} }}{2}(a > 0)\). Khi đó, thể tích khối lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) bằng:
A. \(\frac{{3{a^3}}}{8}\)
B. \(\frac{{3\sqrt 3 {a^3}}}{8}\).
C. \(\frac{{9{a^3}}}{8}\).
D. \(\frac{{9\sqrt 3 {a^3}}}{8}\).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Đáp án đúng là C
Phương pháp giải
Từ các dữ kiện đề bài lập các phương trình thể hiện mối quan hệ giữa các độ dài.
Lời giải
Gọi \(AB = AC = BC = x,A'G = h(x,h > 0)\).
Gọi \(M\) là trung điểm cạnh \(AB \Rightarrow GM \bot AB\)
Mà \(A'G \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow A'G \bot AB\)
\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{A'M \bot AB}\\{GM \bot AB}\end{array} \Rightarrow \widehat {\left( {ABB'\left. {A'} \right)} \right.;\left( {ABC} \right)} = \left( {\widehat {A'M;GM}} \right)} \right.\)
\( = \widehat {A'MG} = {60^ \circ }\)
Khi đó, ta có \(h = A'G = MG\sqrt 3 = MC\frac{{\sqrt 3 }}{3} = BC.\frac{{\sqrt 3 }}{2}.\frac{{\sqrt 3 }}{3} = \frac{{BC}}{2} = \frac{x}{2}\) (1)
Mặt khác, ta chỉ ra được \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{AA' \bot BC}\\{AA'//BB'}\end{array} \Rightarrow BB' \bot BC \Rightarrow BCC'B'} \right.\) là hình chữ nhật
\( \Rightarrow {S_{BCC'B'}} = BB'.BC = AA'.BC = \sqrt {A{G^2} + A'{G^2}} .BC = \sqrt {\frac{{{x^2}}}{3} + {h^2}} .x = \frac{{{a^2}\sqrt {21} }}{2}\) (2)
Từ \(\left( 1 \right),\left( 2 \right)\) ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{h = \frac{x}{2}}\\{\sqrt {\frac{{{x^2}}}{3} + \frac{{{x^2}}}{4}} .x = \frac{{{a^2}\sqrt {21} }}{2}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{h = \frac{x}{2}}\\{\frac{{{x^2}\sqrt {21} }}{6} = \frac{{{a^2}\sqrt {21} }}{2}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{h = \frac{x}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}}\\{x = a\sqrt 3 }\end{array}} \right.} \right.} \right.\)
Khi đó, thể tích của khối lăng trụ là:
\(V = {S_{ABC}}.A'G = \frac{{{x^2}\sqrt 3 }}{4}.h = \frac{{{{(a\sqrt 3 )}^2}\sqrt 3 }}{4}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{9{a^3}}}{8}\)
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
Các sản phẩm khác của Vietjack:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Đáp án đúng là "8/11"
Phương pháp giải
Vận dụng công thức Bernoulli, công thức Bayes.
Lời giải
Gọi A là biến cố "Chai rượu đó là chai rượu loại A", B là biến cố "Chai rượu đó là chai rượu loại B". Dễ thấy \(A = \overline B \).
Gọi \(H\) là biến cố "3 người kết luận đó là loại rượu A, 2 người kết luận đó là loại rượu B".
Xác suất cần tính là \(P\left( {A\mid H} \right)\).
Có \(P\left( A \right) = \frac{2}{5} = 0,4;\,\,P\left( B \right) = \frac{3}{5} = 0,6\) do số lượng chai rượu loại A bằng \(\frac{2}{3}\) số chai rượu loại B.
Xác suất \(P\left( {H\mid A} \right)\) chính là xác suất "3 người kết luận đúng, 2 người kết luận sai khi đó là loại rượu A". Khi đó, theo công thức Bernoulli, ta có: \(P\left( {H|A} \right) = C_5^3.0,{8^3}.{(1 - 0,8)^{5 - 3}} = 0,2048\)
Một cách tương tự, ta tính được: \(P\left( {H|B} \right) = C_5^2.0,{8^2}.{(1 - 0,8)^{5 - 2}} = 0,0512\).
Khi đó, theo công thức Bayes, xác suất cần tính là:
\(P\left( {A\mid H} \right) = \frac{{P\left( {AH} \right)}}{{P\left( H \right)}} = \frac{{P\left( {H\mid A} \right)P\left( A \right)}}{{P\left( {H\mid A} \right)P\left( A \right) + P\left( {H\mid B} \right)P\left( B \right)}}\)
\(P\left( {A\mid H} \right) = \frac{{0,2048.0,4}}{{0,2048.0,4 + 0.0512.0,6}} = \frac{8}{{11}}\)
Câu 2
A. \(2,{96.10^{ - 8}}\).
B. \(1,{55.10^{ - 9}}\).
C. \(5,{54.10^{ - 11}}\).
D. \(1,{61.10^{ - 9}}\).
Lời giải
Đáp án đúng là D
Phương pháp giải
Tìm điều kiện để học sinh đạt ít nhất 8 điểm, sau đó vận dụng công thức Bernoulli.
Lời giải
Gọi số câu hỏi mà học sinh đó trả lời đúng là \(x\).
Để học sinh đó đạt được tối thiểu 8 điểm trong bài kiểm tra thì:
\(0,5x - 0,2.\left( {20 - x} \right) \ge 8 \Leftrightarrow x \ge \frac{{120}}{7}\)
\( \Rightarrow \) Học sinh đó cần trả lời đúng ít nhất 18 câu để có thể đạt tối thiểu 8 điểm.
Theo công thức Bernoulli, xác suất để học sinh đó trả lời đúng \(i\) câu là:
\(P\left( {x = i} \right) = C_{20}^i.{(0,25)^i}.{(0,75)^{20 - i}}\)
Khi đó, xác suất để học sinh đó trả lời đúng ít nhất 18 câu là:
Câu 3
A. dòng điện cảm ứng.
B. chỉ có điện trường.
C. điện từ trường.
D. chỉ có từ trường.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
A. Ngôi kể thứ nhất, điểm nhìn toàn tri
B. Ngôi kể thứ nhất, điểm nhìn hạn tri
C. Ngôi kể thứ ba, điểm nhìn toàn tri
D. Ngôi kể thứ ba, điểm nhìn hạn tri
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
A. \(\frac{1}{{28}}\).
B. \(\frac{{15}}{{84}}\).
C. \(\frac{{11}}{{84}}\).
D. \(\frac{3}{{28}}\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 7
A. Độ ẩm
B. Ánh sáng
C. Không khí
D. Nhiệt độ
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập