Đọc đoạn trích và trả lời câu hỏi dưới đây.

     Viên tướng cau mày, hai môi mím chặt và rung rung. Ông ta rút ra một cuốn sổ tay, lấy bút chì quẹt mấy chữ, xé ra một tờ, đưa cho viên sĩ quan trực nhật rồi bước mau đến cửa sổ, ngồi phịch xuống ghế và nhìn những người ngồi xung quanh như muốn hỏi tại sao họ lại nhìn mình? Rồi ông ta ngẩng đầu lên, duỗi cổ ra như cách sắp nói gì, nhưng tức thời lại phát ra một âm thanh gì rất lạ, mới nghe có thể tưởng ông ta lơ đễnh, cất tiếng hát ử ử trong miệng một mình, nhưng vừa bắt đầu đã bị tắc giọng ngay. Vừa lúc ấy cửa phòng giấy mở ra và Kutuzov xuất hiện trong khung cửa. Cúi mình xuống để tránh một cái gì nguy hiểm, viên tướng đầu quấn băng đến trước mặt ông, với những bước rất dài và rất nhanh, bằng đôi chân gầy gò.

(Lev Tolstoy, Chiến tranh và hòa bình, NXB Văn học, Hà Nội, 2017)

Phương thức miêu tả trong đoạn trích trên làm nổi bật trạng thái nào của viên tướng?

  

Đáp án đúng là "8/11"

Phương pháp giải

Vận dụng công thức Bernoulli, công thức Bayes.

Lời giải

Gọi A là biến cố "Chai rượu đó là chai rượu loại A", B  là biến cố "Chai rượu đó là chai rượu loại B". Dễ thấy \(A = \overline B \).

Gọi \(H\) là biến cố "3 người kết luận đó là loại rượu A, 2 người kết luận đó là loại rượu B".

Xác suất cần tính là \(P\left( {A\mid H} \right)\).

Có \(P\left( A \right) = \frac{2}{5} = 0,4;\,\,P\left( B \right) = \frac{3}{5} = 0,6\) do số lượng chai rượu loại A bằng \(\frac{2}{3}\) số chai rượu loại B.

Xác suất \(P\left( {H\mid A} \right)\) chính là xác suất "3 người kết luận đúng, 2 người kết luận sai khi đó là loại rượu A". Khi đó, theo công thức Bernoulli, ta có: \(P\left( {H|A} \right) = C_5^3.0,{8^3}.{(1 - 0,8)^{5 - 3}} = 0,2048\)

Một cách tương tự, ta tính được: \(P\left( {H|B} \right) = C_5^2.0,{8^2}.{(1 - 0,8)^{5 - 2}} = 0,0512\).

Khi đó, theo công thức Bayes, xác suất cần tính là:

\(P\left( {A\mid H} \right) = \frac{{P\left( {AH} \right)}}{{P\left( H \right)}} = \frac{{P\left( {H\mid A} \right)P\left( A \right)}}{{P\left( {H\mid A} \right)P\left( A \right) + P\left( {H\mid B} \right)P\left( B \right)}}\)

\(P\left( {A\mid H} \right) = \frac{{0,2048.0,4}}{{0,2048.0,4 + 0.0512.0,6}} = \frac{8}{{11}}\)

Đáp án đúng là D

Phương pháp giải

Tìm điều kiện để học sinh đạt ít nhất 8 điểm, sau đó vận dụng công thức Bernoulli.

Lời giải

Gọi số câu hỏi mà học sinh đó trả lời đúng là \(x\).

Để học sinh đó đạt được tối thiểu 8 điểm trong bài kiểm tra thì:

\(0,5x - 0,2.\left( {20 - x} \right) \ge 8 \Leftrightarrow x \ge \frac{{120}}{7}\)

\( \Rightarrow \) Học sinh đó cần trả lời đúng ít nhất 18 câu để có thể đạt tối thiểu 8 điểm.

Theo công thức Bernoulli, xác suất để học sinh đó trả lời đúng \(i\) câu là:

\(P\left( {x = i} \right) = C_{20}^i.{(0,25)^i}.{(0,75)^{20 - i}}\)

Khi đó, xác suất để học sinh đó trả lời đúng ít nhất 18 câu là: