Có hai học sinh lớp 10, hai học sinh lớp 11 và bốn học sinh lớp 12 xếp thành một hàng dọc sao cho không có hai học sinh lớp 12 nào đứng liền nhau. Hỏi có bao nhiêu cách xếp hàng như vậy.

Ta có \(A_n^3 + 2A_n^2 = 48\)\( \Leftrightarrow n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right) + 2n\left( {n - 1} \right) = 48\)\( \Leftrightarrow {n^3} - 3{n^2} + 2n + 2{n^2} - 2n - 48 = 0\)

\( \Leftrightarrow {n^3} - {n^2} - 48 = 0\)\( \Leftrightarrow n = 4\) (vì \(n\) nguyên dương).

Khi đó ta có khai triển \({\left( {1 - 3x} \right)^4} = {1^4} + 4 \cdot 1 \cdot \left( { - 3x} \right) + 6 \cdot 1 \cdot {\left( { - 3x} \right)^2} + 4 \cdot 1 \cdot {\left( { - 3x} \right)^3} + {\left( { - 3x} \right)^4}\)

\( = 1 - 12x + 54{x^2} - 108{x^3} + 81{x^4}\).

Suy ra hệ số của \({x^3}\) là \( - 108\).

Ta có \({\left( {3x - 2} \right)^4} = C_4^0{\left( {3x} \right)^4} + C_4^1 \cdot {\left( {3x} \right)^3} \cdot \left( { - 2} \right) + C_4^2 \cdot {\left( {3x} \right)^2} \cdot {\left( { - 2} \right)^2} + C_4^3 \cdot \left( {3x} \right) \cdot {\left( { - 2} \right)^3} + C_4^4 \cdot {\left( { - 2} \right)^4}\)

\( = 81{x^4} - 216{x^3} + 216{x^2} - 96x + 16\).

Vậy \({a_1} + {a_2} + {a_3} = \left( { - 96} \right) + 216 + \left( { - 216} \right) = - 96\).