Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông cân tại \(B,AB = BC = 2a\), hai mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và (\(SAC\)) cùng vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(AB\), mặt phẳng qua \(SM\) và song song với \(BC\), cắt \(AC\) tại \(N\). Biết góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) và \(\left( {ABC} \right)\) bằng \({60^ \circ }\). Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AB\) và \(SN\) là

 

Đáp án đúng là A

Phương pháp giải

Để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau, ta có thể dựng một mặt phẳng chứa một trong hai đường và song song với đường còn lại, rồi tính khoảng cách từ một điểm bất kì trên đường còn lại đến mặt phẳng vừa dựng được.

Lời giải

Qua \(N\) vẽ đường thẳng \(d\) song song với \(AB\), gọi I là giao điểm của \(d\) và \(BC\). Gọi \(H\) là hình chiếu của \(A\) trên \(NI,K\) là hình chiếu của \(A\) trên \(SH\). Khi đó \(AK \bot \left( {SHN} \right) \Rightarrow AK = {d_{\left[ {A,\left( {SHN} \right)} \right]}}\).

\(AHIB\) là hình chữ nhật nên \(AH = BI = \frac{{BC}}{2} = \frac{{2a}}{2} = a\).

Góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) và \(\left( {ABC} \right)\) bằng \({60^ \circ }\) nên \(\widehat {SBA} = {60^ \circ }\).

\(SA = AB.\tan \widehat {SBA} = 2a.{\rm{tan}}{60^ \circ } = 2a\sqrt 3 \).

Ta có \(\frac{1}{{A{K^2}}} = \frac{1}{{A{H^2}}} + \frac{1}{{S{A^2}}} = \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{{(2a\sqrt 3 )}^2}}} \Rightarrow AK = \frac{{2a\sqrt {39} }}{{13}}\).

Vì \(AB//\left( {SHN} \right)\) nên \({d_{\left( {AB,SN} \right)}} = {d_{\left[ {AB,\left( {SHN} \right)} \right]}} = {d_{\left[ {A,\left( {SHN} \right)} \right]}} = AK = \frac{{2a\sqrt {39} }}{{13}}\).