Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình thang vuông tại A và D, hai mặt bên \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {SAD} \right)\) đồng thời vuông góc với đáy. Biết \(AB = 2AD = 2CD = 2a\), khoảng cách từ A đến \(\left( {SBC} \right)\) bằng \(\frac{{\sqrt 6 }}{2}a\). Thể tích của khối chóp \(S.ABCD\) bằng:

  

Đáp án đúng là A

Phương pháp giải

Thể tích của khối chóp: \(V = \frac{1}{3}h.S\), trong đó \(h\) là chiều cao hình chóp, \(S\) là diện tích đáy của hình chóp

Lời giải

Ta có \(AB = 2AD = 2CD = 2a \Rightarrow AD = DC = a\)

Hai mặt bên \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {SAD} \right)\) đồng thời vuông góc với đáy nên \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\).

Dễ thấy \(\Delta ADC\) vuông cân tại \(D,\Delta ACB\) vuông cân tại \(C\) nên \(AC = AD\sqrt 2 = a\sqrt 2 \).

Gọi \(H\) là hình chiếu của \(A\) trên \(SC\). Khi đó \(AH \bot \left( {SCB} \right)\) nên \(AH = {d_{\left[ {A,\left( {SCB} \right)} \right]}} = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}\).

Ta có

\(\frac{{{\rm{1\;}}}}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{C^2}}} + \frac{1}{{S{A^2}}} \Rightarrow \frac{1}{{S{A^2}}} = \frac{1}{{A{H^2}}} - \frac{1}{{A{C^2}}} = \frac{1}{{{{\left( {\frac{{a\sqrt 6 }}{2}} \right)}^2}}} - \frac{1}{{{{(a\sqrt 2 )}^2}}} \Rightarrow AH = a\sqrt 6 \)

Và \({S_{ABCD}} = \frac{{\left( {AB + DC} \right)AD}}{2} = \frac{{\left( {2a + a} \right)a}}{2} = \frac{{3{a^2}}}{2}\).

Thể tích của khối chóp \(S.ABCD\) là \({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}.{S_{ABCD}}.SA = \frac{1}{3}.\frac{{3{a^2}}}{2}.a\sqrt 6 = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{2}\).