Số giá trị nguyên âm của tham số \(m\) để hàm số \(y = \frac{1}{4}{x^4} + mx - \frac{3}{{2x}}\) đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) là:

Đáp án đúng là A

Phương pháp giải

Sử dụng định lý mở rộng về quan hệ giữa tính đơn điệu của hàm số và dấu của đạo hàm: Hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên \(K\) khi và chỉ khi \(f'\left( x \right) \ge 0,\forall x \in K\) và \(f'\left( x \right) = 0\) chỉ tại một số hữu hạn điểm thuộc \(K\). Hàm số \(y = f\left( x \right)\) nghịch biến trên \(K\) khi và chỉ khi \(f'\left( x \right) \le 0,\forall x \in K\) và \(f'\left( x \right) = 0\) chỉ tại một số hữu hạn điểm thuộc \(K\).

Lời giải

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}\)

\(y = \frac{1}{4}{x^4} + mx - \frac{3}{{2x}}\)

\(y' = {x^3} + m + \frac{3}{{2{x^2}}}\)

Để hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} + m{x^2} + 4x - m\) đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) thì \(y' \ge 0\forall x \in \left( {0; + \infty } \right)\)

\( \Leftrightarrow {x^3} + m + \frac{3}{{2{x^2}}} \ge 0\forall x \in \left( {0; + \infty } \right)\)

\( \Leftrightarrow m \ge - {x^3} - \frac{3}{{2{x^2}}}\forall x \in \left( {0; + \infty } \right)\)

Xét hàm số \(g\left( x \right) = - {x^3} - \frac{3}{{2{x^2}}}\) trên \(\left( {0; + \infty } \right)\)

\(g'\left( x \right) = - 3{x^2} + \frac{3}{{{x^3}}}\)

\(g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 1\)

BBT

Dựa vào BBT, ta có \(m \ge - {x^3} - \frac{3}{{2{x^2}}}\forall x \in \left( {0; + \infty } \right) \Leftrightarrow m \ge - \frac{5}{2}\). Do \(m\) nguyên âm nên có 2 giá trị của tham số \(m\) thỏa yêu cầu bài toán.