Cho hàm số y = f(x) , đạo hàm y = f'(x) có đồ thị như hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [-10;10] để hàm số  đồng biến trên khoảng $(1; +\infty )$(nhập đáp án vào ô trống).

Đáp án:  __

 

Đáp án đúng là "9"

Phương pháp giải

Sử dụng công thức đạo hàm hàm hợp: Cho \(y = f\left( u \right);u = u\left( x \right)\). Khi đó \({y_x}\;' = f'\left( u \right).u'\left( x \right)\).

Sử dụng định lý quan hệ giữa tính đơn điệu của hàm số và dấu của đạo hàm: Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm trên \(K\). Nếu \(f'\left( x \right) > 0,\forall x \in K\) thì hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên \(K\). Nếu \(f'\left( x \right) < 0,\forall x \in K\) thì hàm số \(y = f\left( x \right)\) nghịch biến trên \(K\).

Lời giải

\(g\left( x \right) = 2mx - f\left( {2x - 2} \right)\)

\(g'\left( x \right) = 2m - 2.f'\left( {2x - 2} \right)\)

Hàm số \(g\left( x \right) = 2mx - f\left( {2x - 2} \right)\) đồng biến trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\)

\( \Leftrightarrow g'\left( x \right) \ge 0,\forall x \in \left( {1; + \infty } \right) \Leftrightarrow 2m - 2.f'\left( {2x - 2} \right) \ge 0,\forall x \in \left( {1; + \infty } \right)\)

\( \Leftrightarrow f'\left( {2x - 2} \right) \le m,\forall x \in \left( {1; + \infty } \right)\).

Đặt \(t = 2x - 2\). Vì \(x \in \left( {1; + \infty } \right)\) nên \(t \in \left( {0; + \infty } \right)\).

Xét hàm số \(f'\left( t \right)\) trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\)

Theo hình vẽ đề cho, ta có \(f'\left( x \right) \le 2\forall x \in \left( {0; + \infty } \right) \Rightarrow f'\left( t \right) \le 2\forall t \in \left( {0; + \infty } \right)\).

Do đó \(f'\left( t \right) \le m,\forall t \in \left( {0; + \infty } \right) \Rightarrow m \ge 2\). Mà \(m\) là số nguyên thuộc đoạn \(\left[ { - 10;10} \right]\) nên có 9 giá trị của tham số \(m\) thỏa yêu cầu bài toán.