Biết đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 3m{x^2} + 3{m^3}\) có hai điểm cực trị là \(A\) và \(B\). Tích các giá trị của tham số \(m\) để diện tích tam giác \(OAB\) (O là gốc tọa độ) bằng 48 là

Đáp án đúng là B

Phương pháp giải

Áp dụng công thức: \(T = A.{(1 + r)^n}\).

Lời giải

Số kì hạn (tháng) trả lãi của anh Thành sau 3 năm là: \(3.12 = 36\) (tháng)

Số tiền cả gốc lẫn lãi anh Thành phải trả cho ngân hàng sau đúng 3 năm kể từ ngày vay là:

\(400.{(1 + 1{\rm{\% }})^{36}} \approx 572,3\) (triệu đồng)

Vậy trong các số đề cho, số tiền anh Thành phải trả gần nhất với 573 triệu đồng.

Đáp án đúng là D

Phương pháp giải

Sự tương giao giữa hai đồ thị.

Lời giải

\({\left( {2{x^2} + 4x + 2} \right)^{\frac{3}{4}}}.f\left( {{x^2} + 2x + 1} \right) = 1 \Leftrightarrow f\left( {{x^2} + 2x + 1} \right) = {\left[ {2\left( {{x^2} + 2x + 1} \right)} \right]^{ - \frac{3}{4}}}\) (*)

Đặt \(t = {x^2} + 2x + 1\). Ta có \(t = {(x + 1)^2} \ge 0\). Khi đó (*) trở thành \(f\left( t \right) = {(2t)^{ - \frac{3}{4}}}\).

Xét hàm số \(g\left( t \right) = {(2t)^{ - \frac{3}{4}}}\) trên \(\left[ {0; + \infty } \right)\).

TXĐ: \(D = \left( {0; + \infty } \right)\).

\(g'\left( t \right) = - \frac{3}{2}{(2t)^{ - \frac{7}{4}}} < 0\forall x \in \left( {0; + \infty } \right)\).

Do đó hàm số \(g\left( t \right) = {(2t)^{ - \frac{3}{4}}}\) nghịch biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).

BBT

Dựa vào bảng biến thiên, ta có sự tương giao của hai đồ thị hàm số \(y = f\left( t \right)\) và \(y = g\left( t \right)\) như sau:

Do đó, phương trình \(f\left( t \right) = {(2t)^{ - \frac{3}{4}}}\) có hai nghiệm \(t\) dương phân biệt là \({t_1}\) và \({t_2}\).

Suy ra \({x^2} + 2x + 1 = {t_1}\,\,(1) \vee {x^2} + 2x + 1 = {t_2}\,\,(2)\).

Phương trình (1) có \({\rm{\Delta '}} = 1 - 1 + {t_1} = {t_1} > 0\) nên có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\).

Phương trình (2) có \({\rm{\Delta '}} = 1 - 1 + {t_2} = {t_2} > 0\) nên có hai nghiệm phân biệt \({x_3},{x_4}\) khác \({x_1},{x_2}\).

Vậy phương trình \({\left( {2{x^2} + 4x + 2} \right)^{\frac{3}{4}}}.f\left( {{x^2} + 2x + 1} \right) = 1\) có số nghiệm là 4.