Biết với \(m < 0\), đồ thị hàm số \(y = \frac{{{x^2} + mx - 2m - 4}}{{x + 2}}\) có hai điểm cực trị luôn thuộc một parabol cố định \(\left( P \right):y = a{x^2} + bx + c\). Giá trị của biểu thức \(T = 4a + b + c\) là

Đáp án đúng là C

Phương pháp giải

Để tìm parabol cố định \(\left( P \right):y = a{x^2} + bx + c\) luôn chứa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số \(y = \frac{{{x^2} + mx - 2m - 4}}{{x + 2}}\), ta cần khử tham số \(m\) trong thành phần tung độ của điểm cực trị đó rồi đưa thành phần tung độ này về dạng tam thức bậc hai ẩn \(x\).

Lời giải

ТХĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 2} \right\}\).

\(y = \frac{{{x^2} + mx - 2m - 4}}{{x + 2}}\)

\(y' = \frac{{{x^2} + 4x + 4m + 4}}{{x + 2}}\)

\(y' = 0 \Leftrightarrow \frac{{{x^2} + 4x + 4m + 4}}{{x + 2}} = 0 \Rightarrow {x^2} + 4x + 4m + 4 = 0\) (*).

Đồ thị hàm số \(y = \frac{{{x^2} + mx - 2m - 4}}{{x + 2}}\) có hai điểm cực trị

\( \Leftrightarrow {\rm{\Delta }}_{\left( {\rm{*}} \right)} > 0 \Leftrightarrow 4 - 4m - 4 > 0 \Leftrightarrow m < 0\).

Gọi \(A\left( {{x_A};\frac{{x_A^2 + m{x_A} - 2m - 4}}{{{x_A} + 2}}} \right)\) là một điểm cực trị của đồ thị hàm số đã cho

\( \Rightarrow x_A^2 + 4{x_A} + 4m + 4 = 0\).

\( \Rightarrow m = \frac{{ - x_A^2 - 4{x_A} - 4}}{4}\).

Do đó

\({y_A} = \frac{{x_A^2 + m\left( {{x_A} - 2} \right) - 4}}{{{x_A} + 2}} = \frac{{x_A^2 + \frac{{ - x_A^2 - 4{x_A} - 4}}{4}.\left( {{x_A} - 2} \right) - 4}}{{{x_A} + 2}}\)

\( = \frac{{ - x_A^3 + 2x_A^2 + 4{x_A} - 8}}{{4\left( {{x_A} + 2} \right)}} = - \frac{1}{4}x_A^2 + {x_A} - 1\)

Hay \(A\left( {{x_A}; - \frac{1}{4}x_A^2 + {x_A} - 1} \right)\). Suy ra A luôn thuộc parabol \(\left( P \right):y = - \frac{1}{4}{x^2} + x - 1\).

Do đó \(a = - \frac{1}{4};b = 1;c = - 1\).

Vậy \(T = 4a + b + c = 4.\left( { - \frac{1}{4}} \right) + 1 + \left( { - 1} \right) = - 1\).