Cho hàm số \(f\left( x \right) = - {x^3} + 3{x^2} + 1\). Gọi \(M,m\) lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn \(\left[ {1;3} \right]\). Giá trị của biểu thức \(T = {M^2} - {m^2}\) là

Đáp án đúng là D

Phương pháp giải

Áp dụng quy tắc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số liên tục trên một đoạn:

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\left[ {a;b} \right]\). Để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = f\left( x \right)\) trên \(\left[ {a;b} \right]\), ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Tính đạo hàm \(f'\left( x \right)\). Tìm các điểm \({x_1},{x_2}, \ldots ,{x_n}\) trên khoảng \(\left( {a;b} \right)\) mà tại đó \(f'\left( x \right)\) bằng 0 hoặc không xác định.

Bước 2: Tính \(f\left( a \right),f\left( {{x_1}} \right),f\left( {{x_2}} \right), \ldots ,f\left( {{x_n}} \right),f\left( b \right)\).

Bước 3: Tìm số lớn nhất \(M\) và số nhỏ nhất \(m\) trong các số vừa tính ở bước 2. Ta có:

Lời giải

Xét hàm số \(f\left( x \right) = - {x^3} + 3{x^2} + 1\) trên đoạn \(\left[ {1;3} \right]\).

\(f'\left( x \right) = - 3{x^2} + 6x\).

\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow - 3{x^2} + 6x = 0 \Leftrightarrow x = {0_{\left( l \right)}} \vee x = {2_{\left( n \right)}}\).

Ta có \(f\left( 1 \right) = 3;f\left( 2 \right) = 5;f\left( 3 \right) = 1\). Do đó

Vậy \(T = {M^2} - {m^2} = {5^2} - {1^2} = 24\).