Một người nọ đang đứng tại điểm N cách con đường d một khoảng NA= 10m. Một chiếc xe máy và một chiếc xe đạp xuất phát cùng lúc tại điểm A, chạy về cùng một hướng của đường thẳng d sao cho tốc độ xe máy gấp 4 lần tốc độ xe đạp. Xác định giá trị lớn nhất của góc nhìn $\alpha$ tạo bởi hai tia nhìn NB  và NC khi người đó quan sát xe đạp và xe máy (nhập đáp án vào ô trống, kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Đáp án:  ___

 

Đáp án đúng là "37"

Phương pháp giải

Để góc nhìn \(\alpha \) đạt giá trị lớn nhất thì \({\rm{cos}}\alpha \) phải đạt giá trị nhỏ nhất (do \({0^ \circ } < \alpha  < {90^ \circ }\)).

Lập hàm số \({\rm{cos}}\alpha \) theo biến \(x\) là độ dài quãng đường \(AB\) mà xe đạp di chuyển được. Sau đó, tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số vừa lập rồi suy ra giá trị lớn nhất của \(\alpha \).

Lời giải

Đặt \(x = AB(x > 0)\). Vî tốc độ xe máy gấp 4 lần tốc độ xe đạp nên \(AC = 4AB = 4x\).

Ta có \(NB = \sqrt {N{A^2} + A{B^2}}  = \sqrt {{{10}^2} + {x^2}}  = \sqrt {100 + {x^2}} \); \(NC = \sqrt {N{A^2} + A{C^2}}  = \sqrt {{{10}^2} + {{(4x)}^2}}  = \sqrt {100 + 16{x^2}} \).

\({\rm{cos}}\alpha  = {\rm{cos}}\widehat {BNC} = \frac{{N{B^2} + N{C^2} - B{C^2}}}{{2NB.NC}} = \frac{{100 + {x^2} + 100 + 16{x^2} - {{(3x)}^2}}}{{2.\sqrt {100 + {x^2}} .\sqrt {100 + 16{x^2}} }}\)\( = \frac{{100 + 4{x^2}}}{{\sqrt {100 + {x^2}} .\sqrt {100 + 16{x^2}} }}\).

Xét hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{100 + 4{x^2}}}{{\sqrt {100 + {x^2}} .\sqrt {100 + 16{x^2}} }} = \frac{{100 + 4{x^2}}}{{\sqrt {16{x^4} + 1700{x^2} + 10000} }}\) trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\).

\(f'\left( x \right) = \frac{{8x\sqrt {16{x^4} + 1700{x^2} + 10000}  - \left( {100 + 4{x^2}} \right)\frac{{32{x^3} + 1700x}}{{\sqrt {16{x^4} + 1700{x^2} + 10000} }}}}{{16{x^4} + 1700{x^2} + 10000}}\)

\(f'\left( x \right) = \frac{{3600{x^3} - 90000x}}{{\left( {16{x^4} + 1700{x^2} + 10000} \right)\sqrt {16{x^4} + 1700{x^2} + 10000} }}\)

\(f'\left( x \right) = 0 \Rightarrow 3600{x^3} - 90000x = 0 \Leftrightarrow x = {0_{\left( l \right)}} \vee x =  - {5_{\left( l \right)}} \vee x = {5_{\left( n \right)}}\)

BBT

​

Dựa vào bảng biến thiên, ta có giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f\left( x \right)\) trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) là \(\frac{4}{5}\).

Do đó giá trị nhỏ nhất của \({\rm{cos}}\alpha \) là \(\frac{4}{5}\), suy ra giá trị lớn nhất của \(\alpha \) là khoảng \({37^0}\).