Cho hàm số \(y = \left| {\frac{{{x^2} - \left( {m + 1} \right)x + 2m + 2}}{{x - 2}}} \right|\) (\(m\) là tham số). Giá trị nhỏ nhất của là

Đáp án đúng là D

Phương pháp giải

Xét các trường hợp của tham số \(m\) để đạt min.

Lời giải

Xét hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2} - \left( {m + 1} \right)x + 2m + 2}}{{x - 2}}\) trên đoạn \(\left[ { - 1;1} \right]\)

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}\).

Hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2} - \left( {m + 1} \right)x + 2m + 2}}{{x - 2}}\) liên tục trên đoạn \(\left[ { - 1;1} \right]\).

\(f'\left( x \right) = \frac{{{x^2} - 4x}}{{x - 2}}\)

\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \frac{{{x^2} - 4x}}{{x - 2}} = 0 \Rightarrow x = {0_{\left( n \right)}} \vee x = {4_{\left( l \right)}}\)

Ta có \(f\left( { - 1} \right) = - \frac{{3m + 4}}{3};f\left( 0 \right) = - \left( {m + 1} \right);f\left( 1 \right) = - \left( {m + 2} \right)\)

BBT

Xét các trường hợp sau:

Trường hợp 1: \( - m - 2 \ge 0 \Leftrightarrow m \le - 2\). Khi đó

 nên giá trị nhỏ nhất của là 1.

Trường hợp 2: \( - m - 2 \le 0 < - m - \frac{4}{3} \Leftrightarrow - 2 \le m < \frac{{ - 4}}{3}\). Khi đó để đạt giá trị nhỏ nhất thì nên giá trị nhỏ nhất của là \(\left| { - \left( { - \frac{3}{2}} \right) - 2} \right| = \frac{1}{2}\).

Trường hợp 3: \( - m - \frac{4}{3} \le 0 \Leftrightarrow m \ge - \frac{4}{3}\). Khi đó

 nên giá trị nhỏ nhất của là \(\frac{2}{3}\).

Tóm lại, khi \(m = - \frac{3}{2}\) thì đạt giá trị nhỏ nhất là \(\frac{1}{2}\).