Trong không gian \(Oxyz\), cho điểm \(A\left( { - 1;2; - 3} \right)\), mặt phẳng \(\left( P \right):6x - 2y - 3z + 1 = 0\) và đường thẳng \(d:\frac{{x - 4}}{3} = \frac{{y - 1}}{2} = \frac{{z + 2}}{{ - 5}}\). Phương trình đường thẳng \({\rm{\Delta }}\) qua \(A\), cắt \(d\) và song song với \(\left( P \right)\) là

   

Đáp án đúng là A

Phương pháp giải

Điều kiện cần để đường thẳng \({\rm{\Delta }}\) song song với mặt phẳng ( \(P\) ) là \(\overrightarrow {{u_{\rm{\Delta }}}} \bot \overrightarrow {{n_P}} \).

Lời giải

Mặt phẳng \(\left( P \right):6x - 2y - 3z + 1 = 0\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {6; - 2; - 3} \right)\).

Gọi \(B\left( {4 + 3t;1 + 2t; - 2 - 5t} \right)\) là giao điểm của \({\rm{\Delta }}\) và \(d\).

Ta có \(\overrightarrow {{u_{\rm{\Delta }}}} = \overrightarrow {AB} = \left( {3t + 5;2t - 1; - 5t + 1} \right)\).

Điều kiện cần để đường thẳng \({\rm{\Delta }}\) song song với mặt phẳng \(\left( P \right)\) là \(\overrightarrow {{u_{\rm{\Delta }}}} \bot \overrightarrow {{n_P}} \).

Do đó \(\overrightarrow {{u_{\rm{\Delta }}}} .\overrightarrow {{n_P}} = 0 \Leftrightarrow 6\left( {3t + 5} \right) - 2\left( {2t - 1} \right) - 3\left( { - 5t + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow t = - 1\). Suy ra \(\overrightarrow {{u_{\rm{\Delta }}}} = \left( {2; - 3;6} \right)\)

Đường thẳng \({\rm{\Delta }}\) qua điểm \(A\left( { - 1;2; - 3} \right)\) và có một vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_{\rm{\Delta }}}} = \left( {2; - 3;6} \right)\) nên phương trình của đường thẳng \({\rm{\Delta }}\) là: \(\frac{{x + 1}}{2} = \frac{{y - 2}}{{ - 3}} = \frac{{z + 3}}{6}\).