Trong không gian \(Oxyz\), cho điểm \(A\left( {2; - 1;3} \right)\) và mặt cầu \(\left( S \right):{(x - 3)^2} + {(y - 4)^2} + {(z - 4)^2} = 25\). Gọi \(\left( C \right)\) là giao tuyến của \(\left( S \right)\) và mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\). Gọi \(M,N\) là các điểm di động trên \(\left( C \right)\) thỏa \(MN = 2\sqrt 5 \). Khi tứ diện \(OAMN\) có thể tích lớn nhất, tọa độ trung điểm \(E\) của \(MN\) là

  

Đáp án đúng là B

Phương pháp giải

Áp dụng công thức: \(T = A.{(1 + r)^n}\).

Lời giải

Số kì hạn (tháng) trả lãi của anh Thành sau 3 năm là: \(3.12 = 36\) (tháng)

Số tiền cả gốc lẫn lãi anh Thành phải trả cho ngân hàng sau đúng 3 năm kể từ ngày vay là:

\(400.{(1 + 1{\rm{\% }})^{36}} \approx 572,3\) (triệu đồng)

Vậy trong các số đề cho, số tiền anh Thành phải trả gần nhất với 573 triệu đồng.

Đáp án đúng là D

Phương pháp giải

Sự tương giao giữa hai đồ thị.

Lời giải

\({\left( {2{x^2} + 4x + 2} \right)^{\frac{3}{4}}}.f\left( {{x^2} + 2x + 1} \right) = 1 \Leftrightarrow f\left( {{x^2} + 2x + 1} \right) = {\left[ {2\left( {{x^2} + 2x + 1} \right)} \right]^{ - \frac{3}{4}}}\) (*)

Đặt \(t = {x^2} + 2x + 1\). Ta có \(t = {(x + 1)^2} \ge 0\). Khi đó (*) trở thành \(f\left( t \right) = {(2t)^{ - \frac{3}{4}}}\).

Xét hàm số \(g\left( t \right) = {(2t)^{ - \frac{3}{4}}}\) trên \(\left[ {0; + \infty } \right)\).

TXĐ: \(D = \left( {0; + \infty } \right)\).

\(g'\left( t \right) = - \frac{3}{2}{(2t)^{ - \frac{7}{4}}} < 0\forall x \in \left( {0; + \infty } \right)\).

Do đó hàm số \(g\left( t \right) = {(2t)^{ - \frac{3}{4}}}\) nghịch biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).

BBT

Dựa vào bảng biến thiên, ta có sự tương giao của hai đồ thị hàm số \(y = f\left( t \right)\) và \(y = g\left( t \right)\) như sau:

Do đó, phương trình \(f\left( t \right) = {(2t)^{ - \frac{3}{4}}}\) có hai nghiệm \(t\) dương phân biệt là \({t_1}\) và \({t_2}\).

Suy ra \({x^2} + 2x + 1 = {t_1}\,\,(1) \vee {x^2} + 2x + 1 = {t_2}\,\,(2)\).

Phương trình (1) có \({\rm{\Delta '}} = 1 - 1 + {t_1} = {t_1} > 0\) nên có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\).

Phương trình (2) có \({\rm{\Delta '}} = 1 - 1 + {t_2} = {t_2} > 0\) nên có hai nghiệm phân biệt \({x_3},{x_4}\) khác \({x_1},{x_2}\).

Vậy phương trình \({\left( {2{x^2} + 4x + 2} \right)^{\frac{3}{4}}}.f\left( {{x^2} + 2x + 1} \right) = 1\) có số nghiệm là 4.