Trong không gian \(Oxyz\), cho điểm \(A\left( {2; - 1;3} \right)\) và mặt cầu \(\left( S \right):{(x - 3)^2} + {(y - 4)^2} + {(z - 4)^2} = 25\). Gọi \(\left( C \right)\) là giao tuyến của \(\left( S \right)\) và mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\). Gọi \(M,N\) là các điểm di động trên \(\left( C \right)\) thỏa \(MN = 2\sqrt 5 \). Khi tứ diện \(OAMN\) có thể tích lớn nhất, tọa độ trung điểm \(E\) của \(MN\) là

  

Đáp án đúng là D

Phương pháp giải

Tứ diện \(OAMN\) có thể tích lớn nhất khi diện tích tam giác \(OMN\) lớn nhất.

Lời giải

Ta có \({d_{\left[ {A,\left( {Oxy} \right)} \right]}} = 3\).

Mặt cầu \(\left( S \right):{(x - 3)^2} + {(y - 4)^2} + {(z - 4)^2} = 25\) có tâm \(I\left( {3;4;4} \right)\) và bán kính \(R = 5\).

Gọi \(H\) là hình chiếu của I trên mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\). Ta có \(H\left( {3;4;0} \right),IH = 4\).

Đường tròn giao tuyến \(\left( C \right)\) có tâm \(H\left( {3;4;0} \right)\) và bán kính \(r = \sqrt {{R^2} - I{H^2}} = \sqrt {25 - 16} = 3\).

\(E\) là trung điểm của \(MN\), suy ra \(ME = \frac{{MN}}{2} = \frac{{2\sqrt 5 }}{2} = \sqrt 5 \) và \(HE \bot MN\).

Ta có \(OH = 5,HE = \sqrt {{r^2} - M{E^2}} = 2\).

Gọi \(K\) là hình chiếu của \(O\) trên \(MN\). Khi đó:

\({S_{OMN}} = \frac{1}{2}OK.MN = \frac{1}{2}.2\sqrt 5 .OK \le \sqrt 5 .OE \le \sqrt 5 \left( {OH + HE} \right) = \sqrt 5 .\left( {5 + 2} \right) = 7\sqrt 5 \)

Nên \({V_{OAMN}} = \frac{1}{3}{d_{\left[ {A,\left( {Oxy} \right)} \right]}}.{S_{OMN}} \le \frac{1}{3}.3.7\sqrt 5 = 7\sqrt 5 \).

Do đó, giá trị lớn nhất của \({V_{OAMN}}\) là \(7\sqrt 5 \), đạt được khi \(K \equiv E\) hay \(H\) nằm giữa \(O\) và \(E\).

Khi đó \(\overrightarrow {OE} = \frac{7}{5}\overrightarrow {OH} \Rightarrow \overrightarrow {OE} = \left( {\frac{{21}}{5};\frac{{28}}{5};0} \right) \Rightarrow E\left( {\frac{{21}}{5};\frac{{28}}{5};0} \right)\).