Trong một phòng thí nghiệm, số lượng của một vi khuẩn X được biểu diễn theo công thức \[S\left( t \right) = A{e^{rt}}\], trong đó \[A\] là số lượng vi khuẩn tại thời điểm chọn mốc thời gian, \[r\] là tỉ lệ tăng trưởng \[\left( {r > 0} \right)\], \[t\] là thời gian tăng trưởng (tính theo đơn vị giờ). Lúc 0 giờ sáng, số lượng vi khuẩn X là 150 con. Sau 3 giờ, số lượng vi khuẩn X là 450 con. Cùng thời điểm 0 giờ, người ta đo được số lượng vi khuẩn Y là 300 con. Biết rằng số lượng vi khuẩn Y tăng 5% mỗi giờ.  Hỏi vào lúc mấy giờ, số lượng vi khuẩn X bằng số lượng vi khuẩn Y.  (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Đáp án: 2,18.

Vì lúc 0 giờ sáng, số lượng vi khuẩn X là 150 con nên ta có: \[S\left( 0 \right) = 150 \Leftrightarrow A{e^{r.0}} = 150 \Leftrightarrow A = 150\] (con)

\[ \Rightarrow S\left( t \right) = 150{e^{rt}}\].

Sau 3 giờ, số lượng vi khuẩn X là 450 con nên \[S\left( 3 \right) = 450 \Leftrightarrow 150{e^{r.3}} = 450 \Leftrightarrow {e^{r.3}} = 3 \Leftrightarrow r = \frac{{\ln 3}}{3}\].

\[ \Rightarrow S\left( t \right) = 150{e^{\frac{{\ln 3}}{3}t}}\].

Vì số lượng vi khuẩn Y tăng 5% mỗi giờ nên số lượng vi khuẩn Y ở mỗi giờ theo thứ tự tạo thành một cấp số nhân có số hạng tổng quát là \[R\left( t \right) = 300{\left( {1 + 5\% } \right)^t}\].

Để số lượng vi khuẩn X bằng số lượng vi khuẩn Y thì \[S\left( t \right) = R\left( t \right)\].

\[ \Leftrightarrow 150{e^{\frac{{\ln 3}}{3}t}} = 300{\left( {1 + 5\% } \right)^t}\]

\[ \Leftrightarrow 150{e^{\frac{{\ln 3}}{3}t}} = 300{\left( {1,05} \right)^t}\].

\[ \Leftrightarrow \frac{{{e^{\frac{{\ln 3}}{3}t}}}}{{{{\left( {1,05} \right)}^t}}} = \frac{{300}}{{150}}\]\[ \Leftrightarrow \frac{{{e^{\frac{{\ln 3}}{3}t}}}}{{{{\left( {1,05} \right)}^t}}} = 2\].

\[ \Leftrightarrow {\left( {\frac{{{e^{\frac{{\ln 3}}{3}}}}}{{1,05}}} \right)^t} = 2\].

\[ \Leftrightarrow t = {\log _{\frac{{{e^{\frac{{\ln 3}}{3}}}}}{{1,05}}}}2 \approx 2,18\].

Vậy vào lúc 2,18 giờ thì số lượng vi khuẩn X bằng số lượng vi khuẩn Y.