Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho hai đường thẳng \({\Delta _1}:2x + y - 1 = 0\), \({\Delta _2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = 1 - t\end{array} \right.\) và điểm \(N\left( {1;4} \right)\).
a) Khoảng cách từ điểm \(N\) đến đường thẳng \({\Delta _1}\) bằng \(\frac{4}{{\sqrt 5 }}\).
b) Cosin góc tạo bởi hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) bằng \(\frac{3}{{\sqrt {10} }}\).
c) Đường thẳng \({\Delta _2}\) tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng \(\frac{9}{2}\).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
a) \(d\left( {N,{\Delta _1}} \right) = \frac{{\left| {2 \cdot 1 + 4 - 1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2}} }} = \sqrt 5 \).
b) Đường thẳng \({\Delta _1}\) có một vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {2;1} \right)\).
Đường thẳng \({\Delta _2}\) có một vectơ chỉ phương \(\left( {1; - 1} \right)\) nên có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {1;1} \right)\).
Khi đó \(\cos \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} \cdot \overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}} = \frac{{\left| {2 \cdot 1 + 1 \cdot 1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2}} \cdot \sqrt {{1^2} + {1^2}} }} = \frac{3}{{\sqrt {10} }}\).
c) Đường thẳng \({\Delta _2}\) cắt \(Ox\) tại \(C\left( {3;0} \right)\) và cắt \(Oy\) tại \(D\left( {0;3} \right)\).
Khi đó \({S_{\Delta COD}} = \frac{1}{2} \cdot OC \cdot OD = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 3 = \frac{9}{2}\).
d) Giả sử \(\Delta \) cắt tia \(Ox,Oy\) lần lượt tại \(A\left( {a;0} \right),B\left( {0;b} \right)\) với \(a > 0,b > 0\).
Khi đó phương trình đường thẳng \(\Delta \) có dạng \(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1\).
Vì \(\Delta \) đi qua \(N\) nên \(\frac{1}{a} + \frac{4}{b} = 1\).
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – schwarz ta có:
\(\left( {\frac{1}{a} + \frac{4}{b}} \right)\left( {a + b} \right) \ge {\left( {\frac{1}{{\sqrt a }} \cdot \sqrt a + \frac{2}{{\sqrt b }} \cdot \sqrt b } \right)^2} = 9\)\( \Rightarrow a + b \ge 9\) hay \(OA + OB \ge 9\).
Vậy giá trị nhỏ nhất của \(OA + OB\) bằng 9.
Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Đúng.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Đang tải chế độ Học...
Dành cho bạn Hot
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Đáp án:
Hai đường đi của hai tàu có cặp vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( { - 33;25} \right),\overrightarrow {{u_2}} = \left( { - 30; - 40} \right)\).
Gọi \(\varphi \) là góc giữa hai đường đi của hai tàu.
Ta có \(\cos \varphi = \frac{{\left| {\overrightarrow {{u_1}} \cdot \overrightarrow {{u_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_1}} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {{u_2}} } \right|}} = \frac{{\left| { - 33 \cdot \left( { - 30} \right) + 25 \cdot \left( { - 40} \right)} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - 33} \right)}^2} + {{25}^2}} \cdot \sqrt {{{\left( { - 30} \right)}^2} + {{\left( { - 40} \right)}^2}} }} \approx 0,00483 \Rightarrow \varphi \approx 89,7^\circ \).
Trả lời: 89,7.
Câu 2
a) Đường thẳng \(d\) có một vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {3;4} \right)\).
b) Đường thẳng \(AB\) có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {AB} = \left( {3;1} \right)\).
c) Điểm \(A\left( {1;1} \right)\) nằm trên đường thẳng \(d:3x - 4y + 2 = 0\).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
a) Đường thẳng \(d\) có một vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {3; - 4} \right)\).
b) Đường thẳng \(AB\) có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {AB} = \left( {3;1} \right)\).
c) Thay tọa độ điểm \(A\left( {1;1} \right)\) vào phương trình đường thẳng \(d\) ta thấy không thỏa mãn.
Do đó \(A\left( {1;1} \right)\) không nằm trên đường thẳng \(d:3x - 4y + 2 = 0\).
d) \(d\left( {A,d} \right) = \frac{{\left| {3 \cdot 1 - 4 \cdot 1 + 2} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} }} = \frac{1}{5}\).
Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
a) Khoảng cách từ điểm \(O\left( {0;0} \right)\) đến đường thẳng \({\Delta _2}\) bằng 1.
b) Hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) vuông góc với nhau.
c) Một tín hiệu âm thanh phát đi từ một vị trí và được ba thiết bị ghi tín hiệu đặt tại ba vị trí \(O\left( {0;0} \right),A\left( {1;0} \right)\) và \(M = {\Delta _1} \cap {\Delta _2}\) nhận được cùng một thời điểm. Vị trí phát tín hiệu âm thanh là \(I\left( {\frac{1}{2}; - \frac{3}{2}} \right)\).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng ký để học cùng Vietjack. Hoàn toàn miễn phí!
Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập