a) Chứng minh đẳng thức \[\sqrt {8 - 2\sqrt 7 } - \frac{6}{{\sqrt 7 - 1}} = - 2\].
b) Rút gọn biểu thức \[P = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 5}} + \frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x - 5}} + \frac{{3x + 25}}{{25 - x}}\] (với \(x \ge 0;\,\,x \ne 25\))
a) Chứng minh đẳng thức \[\sqrt {8 - 2\sqrt 7 } - \frac{6}{{\sqrt 7 - 1}} = - 2\].
b) Rút gọn biểu thức \[P = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 5}} + \frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x - 5}} + \frac{{3x + 25}}{{25 - x}}\] (với \(x \ge 0;\,\,x \ne 25\))
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
a) Biến đổi \[VT\] ta có:
\[VT = \sqrt {8 - 2\sqrt 7 } - \frac{6}{{\sqrt 7 - 1}}\]
\[ = \sqrt {{{\left( {\sqrt 7 - 1} \right)}^2}} - \frac{{6\left( {\sqrt 7 + 1} \right)}}{{7 - 2}}\]
\[ = \sqrt 7 - 1 - \left( {\sqrt 7 + 1} \right)\]
\[ = \sqrt 7 - 1 - \sqrt 7 - 1\]
\( = - 2 = VP\)
Vậy đẳng thức được chứng minh.
b) Với \(x \ge 0;\,\,x \ne 25\) ta có: \[P = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 5}} + \frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x - 5}} + \frac{{3x + 25}}{{25 - x}}\]
\[P = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 5} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 5} \right)\left( {\sqrt x - 5} \right)}} + \frac{{2\sqrt x \left( {\sqrt x + 5} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 5} \right)\left( {\sqrt x - 5} \right)}} - \frac{{3x + 25}}{{\left( {\sqrt x + 5} \right)\left( {\sqrt x - 5} \right)}}\]
\[P = \frac{{x - 5\sqrt x + 2x + 10\sqrt x - 3x - 25}}{{\left( {\sqrt x + 5} \right)\left( {\sqrt x - 5} \right)}}\]
\[P = \frac{{5\sqrt x - 25}}{{\left( {\sqrt x + 5} \right)\left( {\sqrt x - 5} \right)}}\]
\[P = \frac{{5\left( {\sqrt x - 5} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 5} \right)\left( {\sqrt x - 5} \right)}}\]
\[P = \frac{5}{{\sqrt x + 5}}\]
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 1 file word cấu trúc mới 2025 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Vì phương trình \[{x^2} + 9x + 2 = 0\] có hai nghiệm âm phân biệt \({x_1},\,{x_2}\)
Nên theo định lý Viète ra có: \({x_1} + {x_2} = - 9\).
Vì phương trình \[{x^2} + 9x + 2 = 0\] có hai nghiệm âm phân biệt \({x_1},\,{x_2}\) nên \[{x_1}^2 + 9{x_1} + 2 = 0\].
Từ \[{x_1}^2 + 9{x_1} + 2 = 0\] suy ra \[ - 13{x_1} + 2 = {x_1}^2 - 4{x_1} + 4 = {\left( {{x_1} - 2} \right)^2}\]
Suy ra \(\sqrt { - 13{x_1} + 2} = \sqrt {{{\left( {{x_1} - 2} \right)}^2}} = \left| {{x_1} - 2} \right| = 2 - {x_1}\)(do \({x_1} < 0\) nên \({x_1} - 2 < 0\)).
Do đó \(A = \sqrt { - 13{x_1} + 2} - {x_2} = 2 - {x_1} - {x_2} = 2 - \left( {{x_1} + {x_2}} \right) = 2 + 9 = 11\).
Lời giải
a) Ta có \(\widehat {BNC} = \widehat {BMC} = 90^\circ \) (gt).
Suy ra \(\Delta BNC\) và \(\Delta BMC\) nội tiếp đường tròn đường kính \[BC\].
Suy ra tứ giác \[BNMC\] nội tiếp đường tròn đường kính \[BC\].
Suy ra \(\widehat {ACB} = \widehat {ANM}\)(cùng bù với \[\widehat {BNM}\]) (1).
Chứng minh tương tự như trên ta có tứ giác \[BMHN\] nội tiếp đường tròn đường kính \[AH\],
suy ra \(\widehat {AHM} = \widehat {ANM}\)(hai góc nội tiếp cùng chắn ).
Từ (1) và (2) suy ra \[\widehat {ACB} = \widehat {AHM}\].
b) Ta có \[BM\] và \[CN\] là hai đường cao cắt nhau tại \[H\] của \[\Delta ABC\] nên \[H\] là trực tâm của \[\Delta ABC\]
Suy ra \[AH \bot BC\]tại \[D\].
Chứng minh tương tự như câu a) có tứ giác \[BNHD\] nội tiếp đường tròn đường kính \[BH\],
suy ra \(\widehat {HND} = \widehat {HBC}\)(hai góc nội tiếp cùng chắn ) (3).
Xét đường tròn đường kính \[BC\] có \(\widehat {HNK} = \widehat {HBC}\)(hai góc nội tiếp cùng chắn ) (4).
Từ (3) và (4) ta có \(\widehat {HND} = \widehat {HNK}\)
Suy ra \(\frac{{NK}}{{ND}} = \frac{{HK}}{{HD}}\)(Tính chất đường phân giác của tam giác) hay \(\frac{{NK}}{{NE}} = \frac{{HK}}{{HD}}\)(5)
Xét đường tròn đường kính \[BH\] có \(\widehat {BND} = \widehat {BHD}\)(hai góc nội tiếp cùng chắn ),
Mà \(\widehat {AHM} = \widehat {BHD} = \widehat {ANM}\), \(\widehat {BND} = \widehat {PNE}\)
Do đó \(\widehat {ANM} = \widehat {PNE}\),
Suy ra \(\frac{{NK}}{{NE}} = \frac{{PK}}{{PE}}\) (6).
Từ (5) và (6) suy ra \(\frac{{PK}}{{PE}} = \frac{{HK}}{{HD}}\), suy ra \[PH\parallel ED\](Định lý Ta-lét đảo).
Gọi \[T\] là giao của \[MN\]và \[PH\], ta có \(\frac{{TH}}{{ND}} = \frac{{KT}}{{KN}} = \frac{{TP}}{{NE}}\) (Hệ quả Định lý Ta-lét)
Lại có \[ND = NE\](gt) nên suy ra \[TH = TP\], suy ra \[T\] là trung điểm \[PH\]
Vậy đường thẳng \[NM\] đi qua trung điểm \[T\] của đoạn thẳng \[HP\].
Câu 3
A. \[\frac{{\sqrt 3 }}{2}a\].
B. \[\frac{1}{2}\].
C. \[\frac{{\sqrt 3 }}{2}\].
D. \[\frac{1}{2}a\].
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
A. \[1\].
B. \[2\].
C. \[3\].
D. \[5\].
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập