Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên từ \[1\] đến \[8\] . Mô tả không gian mẫu và tính xác suất của biến cố A : "Số được chọn là số chẵn".

a) Chứng minh tứ giác \[DFEB\] là tứ giác nội tiếp.
Ta có \(DF \bot AB\) nên \(\Delta DFB\) vuông tại \[D\]

Suy ra \(D\), \(F\), \(B\) cùng thuộc đường tròn đường kính \[FB\]
Ta có \(\widehat {AEB} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) nên \(\Delta FBE\) vuông tại \[E\]
Suy ra \(D\), \(E\), \(B\) cùng thuộc đường tròn đường kính \[FB\]
Vậy \(D\), \(E\), \(B\), \(F\) cùng thuộc đường tròn đường kính \[FB\] hay \[DFEB\] là tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh \(OI\) đi qua trung điểm của \[MN\].

Gọi \(K\) là giao điểm của \(HA\) và \(\left( O \right)\)

Khi đó \(AE\), \(HD\), \(BK\) là các đường cao của tam giác \(HAB\)
Do đó \(AE\), \(HD\), \(BK\) đồng quy tại \(F\) hay \(B\), \(F\), \(K\) thẳng hàng
Vì \(\Delta HKF\) vuông tại \(K\), \(\Delta HEF\) vuông tại \(E\) nên \(H\), \(K\), \(F\), \(E\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(HF\)
Suy ra \(KI = IE\)
Do đó \(I\) thuộc đường trung trực của \(EK\)
Mà \(O\) thuộc đường trung trực của \(EK\) (do \(OE = OK\) )
Nên \(OI\) là trung trực của \(EK\)
Gọi \(L\) là giao điểm của \(OI\) và \(EK\). Khi đó \(L\) là trung điểm của \(EK\)
Mà \(M\) là trung điểm của \(AE\) nên \(ML\) là đường trung bình của \(\Delta AKE\)
Do đó \(ML\,{\rm{//}}\,AK\), \(ML = \frac{1}{2}AK\;\;\left( 1 \right)\)
Tương tự \(ON\,{\rm{//}}\,AK\), \(ON = \frac{1}{2}AK\;\;\left( 2 \right)\)
Từ (1) và (2) suy ra \[MLNO\] là hình bình hành
Do đó \(OL\) đi qua trung điểm của \(MN\).

a) Tính diện tích xung quanh của chiếc cốc (lấy \(\pi  = 3,14\) )

Diện tích xung quanh của chiếc cốc là \({S_{xq}} = 2\pi rh\)\( = 2\pi \;{\rm{.}}\;5\;{\rm{.}}\;10\)\( = 314\;\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\)
Vậy diện tích xung quanh của chiếc cốc là \(314\;\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\)
b) Ban đầu chiếc cốc chứa nước, chiều cao mục nước là \({h_1} = 6{\rm{\;cm}}\). Người ta thả một viên bi bằng sắt, đặc ruột, hình cầu có bán kính \(R = 3{\rm{\;cm}}\) vào chiếc cốc. Khi đó chiều cao của mục nước trong cốc là \({h_2}\). Tính \({h_2}\)

b) Thể tích của viên bi sắt là \({V_1} = \frac{4}{3}\pi {R^3}\)\( = \frac{4}{3}\pi \;{\rm{.}}\;{3^3}\)\( = 36\pi \;\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}} \right)\)

Thể tích nước trong cốc ban đầu là \(V = \pi {r^2}h\)\( = \pi \;{\rm{.}}\;{5^2}\;{\rm{.}}\;6\)\( = 150\pi \;\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}} \right)\)
Tổng thể tích của viên bi sắt và nước ban đầu là \({V_2} = V + {V_1}\)\( = 150\pi  + 36\pi \)\( = 186\pi \;\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}} \right)\)
Chiều cao của mực nước sau khi thả viên bi là \({h_2} = \frac{{{V_2}}}{{\pi {r^2}}}\)\( = \frac{{186\pi }}{{\pi  \cdot {5^2}}}\)\( = 7,44\;\left( {{\rm{cm}}} \right)\)
Vậy \({h_2} = 7,4{\rm{4}}\;\left( {{\rm{cm}}} \right)\)