Cho nửa đường tròn tâm \(O\), đường kính \(AB\). Trên nửa đường tròn \(\left( O \right)\) lấy điểm \(C\) sao cho \(CA < CB\), kẻ \(CD\) vuông góc với \(AB\), \(D\) thuộc \(AB\). Gọi \(F\) là một điểm trên đoạn \(CD\) ( \(F\) khác \(C\) và \(D\) ), tia \(AF\) cắt nửa đường tròn \(\left( O \right)\) tại \(E\).
a) Chứng minh tứ giác \[DFEB\] là tứ giác nội tiếp.
b) Gọi \(M\), \(N\) lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ \(O\) xuống \(AE\) và \(BF\); \(H\) là giao điểm cùa \(BE\) và \(DF\); \(I\) là trung diểm cùa \(HF\). Chứng minh \(OI\) đi qua trung điểm của \[MN\] ,

Gọi vận tốc của Lan khi đi xe đạp từ A đến B là \(x{\rm{\;}}\left( {{\rm{km/h}}} \right)\). ĐK \(x > 0\)
Vận tốc của Lan lúc về là \(x + 2\;\left( {{\rm{km/h}}} \right)\)
Thời gian đi từ \(A\) đến \(B\) là \(\frac{{20}}{x}\) (giờ)
Thời gian đi từ \(B\) về \(A\) là \(\frac{{20}}{{x + 2}}\) (giờ)
Vì thời gian về ít hơn thời gian đi \[20\] phút hay \(\frac{1}{3}\) giờ nên ta có phương trình: \(\frac{{20}}{x} - \frac{{20}}{{x + 2}} = \frac{1}{3}\)
\(\frac{{60\left( {x + 2} \right)}}{{3x\left( {x + 2} \right)}} - \frac{{60x}}{{3x\left( {x + 2} \right)}} = \frac{{x\left( {x + 2} \right)}}{{3x\left( {x + 2} \right)}}\)
Suy ra \(60\left( {x + 2} \right) - 60x = x\left( {x + 2} \right)\)
\(60x + 120 - 60x = {x^2} + 2x\)
\({x^2} + 2x - 120 = 0\)
\({x^2} + 12x - 10x - 120 = 0\)
\(x\left( {x + 12} \right) - 10\left( {x + 12} \right) = 0\)
\(\left( {x - 10} \right)\left( {x + 12} \right) = 0\)
\(x - 10 = 0\) hoặc \(x + 12 = 0\)
\(x = 10\) (tmĐK) hoặc \(x =  - 12\) (không tmĐK)
Vậy vận tốc của Lan khi đi xe đạp từ A đến B là \(10{\rm{\;km/h}}\).

Với \(x > 0\,;\,\,x \ne 1\), ta có: \(B = \left( {\frac{1}{{\sqrt x  + 1}} + \frac{1}{{\sqrt x  - 1}}} \right) \cdot \frac{{\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x }}\)
\(B = \left( {\frac{{\sqrt x  - 1}}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)}} + \frac{{\sqrt x  + 1}}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)}}} \right) \cdot \frac{{\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x }}\)